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mettiti alla prova - MATutor

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mettiti alla prova - MATutor
Mettiti alla prova
METTITI ALLA PROVA
Limiti e continuità
ax + b
x"3
6a = 1; b = 0; c = [email protected]
b. Posto che a, b e c siano i valori trovati al punto precedente, calcola: lim+ f (x) ; xlim
f (x) .
"-3
x"3
c. Stabilisci se esistono i seguenti limiti e, nel caso, calcolali: xlim
x f (x) ; lim"-3
x"0
2
3
4
f (x)
x .
6+ 3; [email protected]
6non esiste; - [email protected]
^x - ah^x - bh
Considera la funzione f di variabile reale definita, per x ! c , da f (x) =
, con a, b, c parametri
x-c
reali, a positivo.
a. Determina a, b, c affinché il grafico di f:
ȼˏabbia un asintoto verticale di equazione x = 2 ;
ȼˏpassi per il punto A(1; 0);
ȼˏabbia un asintoto obliquo passante per il punto B(0; 3).
b. Disegna il grafico di f.
1
c. A partire dal grafico di f disegna il grafico della funzione g definita da g (x) =
mettendo in evidenza
f (x)
intersezioni con gli assi e asintoti.
[a) a = 1, b =- 2, c = 2]
2x - 1
x .
x"0
Sfruttando anche il risultato ottenuto, studia i punti di discontinuità della seguente funzione:
Z 2x - 1
]
] x $ log 2 e se x 1 0
se 0 1 x # 3 .
f (x) = [ x2 + 3x + 2
]] 12
se x 2 3
\ x+1
Stabilisci se ci sono punti di discontinuità di terza specie e in tal caso indica come può essere eliminata la
[x = 0 disc. III specie; x = 3 disc. I specie]
discontinuità modificando la definizione della funzione.
Calcola lim
REALTÀ E MODELLI Una nuova vettura Una casa automobilistica ha progettato
una vettura in cui il costo per il consumo di carburante, espresso in euro, dipende dai kilometri percorsi x secondo la funzione:
a
se x # 3
f ^ x h = * bx2 + cx + 1
se x 2 3
10x - 20
con a, b, c parametri reali.
Durante la presentazione della vettura viene dichiarato che, all’aumentare dei kilometri percorsi, il costo per
il consumo di carburante tende a diventare € 1 ogni 10 km. Determina:
a. i parametri b e c;
b. il parametro a affinché la funzione sia continua in x = 3 ;
c. il numero minimo di kilometri da percorrere per avere una differenza di costi tra i valori reali e quelli
dichiarati inferiore al decimillesimo di euro.
2
:a) b = 1, c =- 2; b) a = 5 ; c) 1003D
4
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Questo file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Graziella Barozzi e Anna Trifone
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1
2e x - c se x $ 0, x ! c
Sia data la funzione f (x) = * sin 2x
, con a, b ! R, c ! R+ .
x
se
0
1
x
a. Ricava i valori di a, b e c in modo tale che:
f (x) = 2e ;
ȼ f (x) sia continua in x = 0 ;
ȼ xlim
ȼ lim- f (x) = 0 .
"+3
Mettiti alla prova
Il moscerino della frutta Un modello che
rappresenta l’evoluzione della popolazione del moscerino
della frutta ha equazione:
REALTÀ E MODELLI
N^ t h =
200
2
- t
3e 5
+2
,
dove N ^ t h è il numero di moscerini e t è il tempo (misurato in giorni).
a. Quanti sono i moscerini all’inizio dell’osservazione?
In quanto tempo la popolazione diventa di 50 individui?
b. Disegna il grafico di N ^ t h e osserva che ammette un asintoto orizzontale. Che significato assume per la
popolazione di moscerini questa retta? Verifica tale risultato attraverso la definizione di limite.
6a) 40, t - 1 giorno; b) N = [email protected]
6
Considera la funzione:
a ^ x h = 200 `1 - e
^x - 3h2
- 300 - 100x
Un triangolo ha i lati che misurano rispettivamente 3a, 4a e 5a. Sia A l’area del triangolo stesso, A1 l’area del cerchio inscritto e A2 quella del
cerchio circoscritto. Calcola i seguenti limiti:
A2
A1
a. alim
;
b. alim
A1 .
"+3 A
"+3
5
r
8a) 6 ; b) 2 B
10
Considera la funzione f : R " R definita da
j.
a. Per quale valore di x la funzione si annulla?
b. Quanto vale a ^ 0 h ?
c. Per quale x la funzione assume un valore pari
al 75% di a ^ 0 h ?
6a) b x ! D: b) a ^ 0 h - 5, 9; c) x - 0, [email protected]
7
9
^ 3x + 5 - 3x - 2 h
Calcolare xlim
"+3
x3 - 2x2 + x - 2
se x ! 2 ,
x-2
se x = 2
a
con a parametro reale.
a. Determina a affinché l’immagine mediante
f dell’intervallo I = 6- 1; [email protected] sia un intervallo
chiuso.
b. Determina gli estremi dell’immagine f(I) di I.
6a) 5; b) 2, [email protected]
[email protected]
f (x) = )
[Liceo scientifico opzione internazionale italo-inglese
2015 - Sessione ordinaria - Quesito 5]
8
Verificare che la funzione
f ^x h =
1
1
x
3 +1
ha una discontinuità di prima specie («a salto»),
mentre la funzione:
f ^x h =
x
1
x
3 +1
ha una discontinuità di terza specie («eliminabile»).
[Corso di ordinamento 2015 - Sessione straordinaria Quesito 2]
11
Esplicita, rispetto alla variabile y, l’equazione della curva x2 - xy - 3x - y + 2 = 0 . Stabilisci se la
curva presenta degli asintoti e, in caso di risposta
affermativa, determinane le equazioni. Individua
il punto di intersezione C degli asintoti e verifica
che è centro di simmetria per la curva, scrivendo
le equazioni della simmetria centrale rispetto al
punto C.
6x =- 1, y = x - 4; C ^- 1; - [email protected]
Derivate
12
Z ax + b se x 1 0
]
3
] sin x
se 0 # x # 2 r
, dove a, b e c sono parametri reali.
Sia data la funzione f (x) = [
3
]]c
se x 2 2 r
\
a. Determina i parametri a, b, c in modo che la funzione sia derivabile per ogni x reale. Disegna il grafico di f.
b. La funzione f l è continua? Disegna il suo grafico. La funzione f l è derivabile?
6a) a = 1, b = 0, c =- [email protected]
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5
Mettiti alla prova
13
Considera la famiglia di funzioni di una variabile reale definita, per x 2 0 , da f (x) = 2 + kx + ln x , dove
k è un parametro reale.
a. Dimostra che per ogni k $ 0 la funzione f è invertibile.
b. Per k = 1, nella famiglia di funzioni data, ottieni la funzione h. Indica con g la funzione inversa di h. Calcola g l^ 3 h e determina un’equazione della retta tangente al grafico di g nel suo punto di ascissa 3.
1
8g l(3) = 2 ; x - 2y - 1 = 0B
14
1
Data nel piano Oxy la curva c di equazione y = 2 , sia P un punto di c di ascissa t 2 0 e sia r la retta tangente
x
a c nel punto P.
a. Esprimi in funzione di t l’area S1 del triangolo OPA, essendo A l’intersezione di r con l’asse y.
b. Detta n la retta per P perpendicolare a r, esprimi in funzione di t l’area S2 del triangolo OPB, essendo B
l’intersezione di n con l’asse x.
S1
3
t6 - 2
; c) 3D
.
c. Calcola il limite t lim
:a) S1 (t) = 2t ; b) S 2 (t) =
" + 3 S2
2t7
15
La funzione f è continua e indefinitamente derivabile in R . Nell’intervallo [1; 8] ha le seguenti caratteristiche:
3
7
ȼˏ f (1) = 2 , f (8) = 5 ;
ȼˏ f (x) = 2 soltanto in x = 5 ;
ȼˏ f m(x) 1 0 per x ! [1; 5 [; f m(5) = 0; f m(x) 2 0 per x ! ] 5; 8].
Dimostra che esistono soltanto due punti interni all’intervallo [1; 8] in cui la funzione verifica il teorema di
Lagrange.
16
Determiniamo il parametro reale h in modo che il seguente limite abbia il valore assex -h
2
gnato: lim x
= e.
x " 1 e ln x
ESERCIZIO SVOLTO
2
x2 - h
1-h
tende alla forma 0 .
e x ln x
2
Se h ! 1, il limite tende allora a infinito ed è diverso da e .
Quando x tende a 1, il rapporto
17
6
REALTÀ E MODELLI Scatto Un centometrista si sta riscaldando prima della
gara. Dopo uno scatto di 4 s a velocità crescente, rapidamente decelera e si
ferma in 2 s, per poi tornare ai blocchi con velocità costante. La legge oraria
con cui si muove nella fase di accelerazione è s ^ t h = 1, 2t2 ; nella fase di decelerazione ha percorso 9,6 m e quando torna ai blocchi di partenza sono passati
in tutto 20,4 s.
a. Trova la legge oraria s ^ t h che descrive tutte e tre le fasi.
b. Calcola le funzioni sl^ t h e s m^ t h e spiegane il significato fisico.
R
V
Z1, 2t2
se 0 # t # 4 W
c. Disegna sullo stesso piano i tre grafici.
S
]]
Sa) s ^ t h = [- 2, 4t2 + 28,8t - 57,6 se 4 1 t # 6 W
S
W
]- 2t + 40,8
S
se 6 1 t # 20, 4W
\
T
X
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0
Se h = 1, invece, il limite si presenta nella forma indeterminata del tipo 0 . Verifichiamo se, in questo caso,
2
sciogliendo la forma indeterminata otteniamo il valore e . Applichiamo De L’Hospital:
x2 - 1
2x
2x2
2
= lim
= lim x
= e.
lim x
x " 1 e ln x
x"1 x
x " 1 xe ln x + e x
ex
e ln x + x
2
La forma indeterminata porta effettivamente al valore e , quindi il valore cercato per h è 1.
Mettiti alla prova
Tuffi Aldo si tuffa da una piattaforma
alta 5 m sopra la superficie del mare. I suoi tuffi possono
essere descritti, nel riferimento Oxy in figura, dalla famiglia
di parabole:
1 + m2
y =- 10 x2 + mx + 5, m ! R.
ESERCIZIO SVOLTO
y (m)
a. Ricaviamo in funzione di m la tangente dell’angolo a
r
`0 1 a 1 2 j che le braccia di Aldo formano con la verticale nel punto di ingresso in acqua e dimostriamo che:
2
0 1 tan a # 2 .
5
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18
α
O
C
x (m)
b. Determiniamo il valore positivo di m per il quale a = 30° e calcoliamo la distanza tra la base della piattaforma e il punto di ingresso in acqua per questo valore di m.
a. Ricaviamo l’ascissa xC del punto in cui Aldo entra in acqua risolvendo la seguente equazione:
-
1 + m2 2
2 2
10 x + mx + 5 = 0 " ^1 + m h x - 10mx - 50 = 0 "
x=
5 ^m + 3m2 + 2 h
5m ! 75m2 + 50
" xC =
.
2
1+m
1 + m2
⤻
xC è la soluzione positiva
Calcoliamo la derivata prima in xC che rappresenta il coefficiente angola1 + m2
re della tangente al grafico nel punto C. Poiché yl^ x h =- 5 x + m ,
la derivata nel punto di ascissa xC è:
- 1 + m2 5 ^m + 3m2 + 2 h
+m =
yl^xC h =
$
5
1 + m2
β
α
C
x (m)
- m - 3m2 + 2 + m =- 3m2 + 2 .
Il coefficiente angolare è uguale anche a tan b, essendo b l’angolo che la retta forma con la direzione
r
positiva dell’asse x. L’angolo a richiesto dal problema è uguale a b - 2 .
Otteniamo:
1
r
tan a = tan `b - 2 j =- cot b = =
tan b
Da 0 1
1
.
3m2 + 2
2
1
1
#
segue che 0 1 tan a # 2 .
2
3m2 + 2
b. Calcoliamo il valore positivo di m per il quale a = 30° risolvendo la seguente equazione:
3
tan a = 3 "
3
1
1
=
" 3m2 + 2 = 3 " m = 3 .
3
3m2 + 2
Determiniamo la distanza tra la base della piattaforma e il punto di ingresso in acqua, sostituendo
3
m = 3 nell’espressione di xC:
3
5a 3 + 3 k
xC =
= 5 3 - 8, 66 m .
1
1+ 3
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Mettiti alla prova
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Circuito RC In un circuito RC, la
quantità di carica Q accumulata in un condensatore in
funzione del tempo t è espressa dalla formula:
REALTÀ E MODELLI
q ^ t h = C $ DV $ _1 - e
-
t
RC
R
i,
V
C
20
REALTÀ E MODELLI Il fiume Un geologo sta studiando il territorio che circonda un tratto di un
fiume. Tale tratto forma un’ansa che può essere
rappresentata dalla curva OA del grafico di
f ^ x h = x + sin ^rx h nell’intervallo 60; [email protected] .
a. Traccia la curva OA nel riferimento Oxy e
ricava l’equazione della retta OA.
b. Ricava l’area del parallelogramma PQRS in
cui risulta inscritta la curva OA, cioè il parallelogramma che ha due lati tangenti alla curva e paralleli alla corda OA e due lati sulle
rette di equazione x = 0 e x = 2 .
c. Perché è garantita l’esistenza di almeno una
delle rette tangenti alla curva parallele alla
corda OA?
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dove C è la capacità del condensatore, DV la differenza
di potenziale a cui è sottoposto il condensatore e R la resistenza del conduttore inserito nel circuito.
a. Scrivi la funzione che esprime l’intensità di corrente
che scorre nel circuito ricordando che i ^ t h = ql^ t h .
b. Scrivi la funzione che esprime l’intensità di corrente relativa a un circuito con capacità C = 2, 5 nF, resistenza R = 200 X e differenza di potenziale DV = 10 V .
c. Calcola l’intensità di corrente massima che può circolare nel circuito del punto precedente.
d. Stabilisci quando il circuito è percorso dal 70% della corrente massima.
t
t
:a) i ^ t h = DV e RC ; b) i ^ t h = 1 e 5 $ 10-4 ; c) i max = 0, 05 A; d) t - 1, 78 $ 10-4 sD
R
20
6a) y = x; b) A PQRS = 4; c) teorema di [email protected]
21
REALTÀ E MODELLI Intensità di corrente Sia q ^ t h =- t 3 + 4t 2 la quantità di carica in funzione del tempo che
attraversa la sezione di un conduttore. Il tempo è misurato in secondi e 0 # t # 2 .
a. Determina l’intensità media di corrente im, ossia la variazione della quantità di carica in un generico inter3
vallo di tempo 6t; t + [email protected] e nell’intervallo 80; 2 B .
3
b. Determina se esiste un istante t interno all’intervallo 80; 2 B nel quale l’intensità istantanea di corrente è
uguale a quella media.
c. Determina il massimo valore dell’intensità di corrente istantanea nell’intervallo 60; [email protected] .
15
8a) im = 4 A ; b) t - 0, 6 s; c) i - 5, 33 AB
22
Una sfera ha il raggio che aumenta al passare del tempo secondo una data funzione r ^ t h . Calcolare il raggio
della sfera nell’istante in cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono
numericamente uguali.
1
: 8r uD
[Corso di ordinamento 2015 - Sessione straordinaria - Quesito 8]
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Mettiti alla prova
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ESERCIZIO SVOLTO
Data la funzione y (x) = log2 x , determiniamo l’equazione della retta tangente al suo
grafico condotta dal punto di coordinate (0; 1). Disegniamo anche il grafico della funzione e la tangente.
Sia P (a; log2 a) , con a 2 0 , un generico punto appartenente alla curva di equazione y = log2 x .
y
4
3
log2α
y = log2x
P
2
1
–1
O
1
2
3
4
5 α 6
7
8
9
10
x
–1
Il coefficiente angolare della retta t tangente alla curva in P è dato dalla derivata prima della funzione calcolata in x = a :
1
1
yl(x) = x $ log2 e " yl(a) = a $ log2 e .
L’equazione della generica retta tangente t è dunque:
log2 e
y - log2 a = a $ (x - a) .
Per determinare l’equazione di t imponiamo il passaggio per il punto (0; 1):
log2 e
1 - log2 a = a $ (0 - a) " log2 a = 1 + log2 e " log2 a = log2 2e " a = 2e .
L’equazione della retta tangente t cercata è pertanto:
log2 e
log2 e
y - log2 2e = 2e $ (x - 2e) " y = 2e $ x + 1.
24
Trovare l’equazione della retta perpendicolare al grafico di f ^ x h = 4x3 - 7x2 nel punto di ascissa 3.
6x + 66y - 2973 = [email protected]
[Scuole italiane all’estero (Europa) 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 10]
REALTÀ E MODELLI Esposizione di quadri Un quadro è
appeso alla parete sopra al livello dell’osservatore come indicato in figura.
a. Esprimi in funzione di x l’angolo i sotteso da a + b e
l’angolo b sotteso da b.
Calcola poi:
i
b. xlim
;
"+3 b
c. lim+
x"0
i
.
b
a
b
β
:b)
θ
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25
x
a+b
; c) 1D
b
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Mettiti alla prova
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Dimostra che la funzione
f (x) = ln ^ 1 + x + 1h
è biunivoca. Determina poi la tangente al grafico della funzione inversa nel suo punto di ascissa ln 2.
6 y = 4x - 4 ln [email protected]
27
In un piano riferito a un sistema di assi ortogonali Oxy sono assegnate le rette r: y = tx e s: y = x + 2t , con t
parametro reale.
a. Determina le coordinate del punto P intersezione delle rette r e s in funzione di t, quindi ricava l’ordinata
di P come funzione y = f ^ x h della sua ascissa.
x2
b. Stabilito che la funzione richiesta al punto a è f ^ x h = x - 2 , studiala in modo esauriente, determinando
eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativi, flessi, e rappresentala graficamente.
c. Dimostra che dal punto C(2; 4) non può essere condotta nessuna retta che sia tangente al grafico di f (x).
2t
2t2
x2
;a) P a t - 1 ; t - 1 k , y = x - 2 ; b) a.v.: x = 2 , a.o.: y = x + 2 , max: (0; 0), min: (4; 8), nessun flessoE
28
Date le funzioni f (x) = e1 - x , g (x) =- 1 - 2x e i corrispondenti grafici { e c, determina le coordinate del
punto di { che si trova alla minima distanza da c.
6^1 - ln 2; [email protected]
29
È assegnata la famiglia di funzioni y = ^x - ah ebx , con a, b ! R .
a. Determina i valori di a e b per i quali la funzione presenta un minimo relativo nel punto di ascissa x = 2
e un flesso obliquo nel punto di ascissa x = 1.
b. Ricava l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di flesso.
6ah a = 3, b = 1; bh y =- ex - [email protected]
30
REALTÀ E MODELLI Mattoncini Una ditta produttrice di mattoncini per le costruzioni deve predisporre una
scatola a forma di parallelepipedo, con due facce parallele quadrate, che abbia una capienza di 64 000 cm3.
Calcola qual è il quantitativo minimo di cartoncino da utilizzare per realizzare la scatola, supponendo che a
causa dei lembi di cartoncino da incollare per chiuderla occorra circa il 5% in più di cartoncino.
[10 080 cm2]
31
REALTÀ E MODELLI Torte e profitti Un laboratorio di pasticceria produce torte decorate da un noto cake-designer. Ogni mese
ne vende 50 a un negozio a € 35 l’una e le altre le vende a € 50
direttamente al pubblico.
Il laboratorio paga un affitto mensile di € 800, sostiene una spesa
fissa media di € 500 per consumi e manutenzione attrezzature e
una spesa variabile direttamente proporzionale al quadrato del
numero delle torte prodotte, con costante di proporzionalità pari
a € 0,125. Al laboratorio una torta costa in media € 15.
a. Esprimi il profitto annuo in funzione del numero di torte
realizzate, ipotizzando che mediamente (tenendo conto anche dei periodi di chiusura) ogni mese vengano preparate almeno 100 torte.
b. Calcola la derivata della funzione profitto e determina quando si annulla.
c. Rappresenta graficamente la funzione profitto in un opportuno sistema di riferimento e interpreta il
significato del numero di torte per cui la derivata si annulla.
[ a) p (x) =- 1, 5x2 + 420x - 24 600, con x torte prodotte al mese dove x $ 100 ;
b) pl(x) = 0 per x = 140 ; c) profitto massimo per x = 140 ]
10
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Funzioni
Mettiti alla prova
32
Fra Bologna e Praga Una compagnia aerea pianifica una nuova tratta fra Bologna e Praga, di 664 km. Il consumo di Jet-A1 (il combustibile utilizzato) è di circa 1,2 L/km e il suo costo è di circa € 2
al litro. La spesa oraria complessiva per il personale di bordo è di circa € 1000. Va inoltre previsto un costo
variabile proporzionale al cubo della velocità media, con costante di proporzionalità pari a 0,001.
a. Individua la funzione che esprime il costo
totale della tratta aerea, dovuto a tutti i fattori
indicati, in funzione della velocità media v di
volo e determina il punto stazionario di tale
funzione.
b. Che significato ha il punto stazionario trovaBologna
Praga
to al punto precedente, sapendo che la velocità media del volo è di 500 km/h?
664 000
v3
+ 1000 ; cl(v0) = 0 per v0 - 122 km/h;
;a) c (v) = 1593, 6 +
v
REALTÀ E MODELLI
b) v0 è punto di minimo per c(v), ma non ha attinenza con la velocità «reale» dell’aereoE
x3
e rappresentala graficamente individuando, in particolare, i
^x + 2h2
suoi asintoti e i suoi punti di flesso. Determina poi l’equazione della retta t tangente alla curva nel suo punto
di flesso.
[asintoti x =- 2, y = x - 4 ; flesso (0; 0); tangente y = 0 ]
33
Considera la curva di equazione y =
34
Sono date le seguenti informazioni riguardanti la funzione f (x):
f (x) =+ 3 , f (- 2) =- 5 , f (1) = 2 , xlim
f (x) =- 1;
ȼˏxlim
"-3
"+3
ȼˏè derivabile su tutto R e
f l(x) 1 0 per x ! ] - 3; - 2 [ , ] 1; + 3 [ ,
f l(x) 2 0 per x ! ] - 2; 1 [,
f l(- 2) = f l(1) = 0 ;
ȼˏla derivata seconda è continua su tutto R .
Determina il numero delle soluzioni dell’equazione f (x) = - 2 .
35
[2]
Filoncini sul mercato In microeconomia la funzione domanda di mercato fornisce
la quantità D di un dato bene che i consumatori sono disposti ad acquistare quando il costo unitario del
bene è x. È data la seguente funzione relativa a un prodotto:
a
D ^x h = x + c + b ,
con a, b, c parametri reali positivi.
ESERCIZIO SVOLTO
a. Disegniamo il grafico qualitativo e dai un’interpretazione delle costanti.
b. Spieghiamo se si tratta di un bene essenziale o voluttuario.
c. In una città c’è un solo fornaio che vende filoncini di pane per celiaci. La funzione domanda che esprime
il numero di filoncini che vende ogni giorno è la seguente:
400
D ^ x h = x + 2 + 10 .
Attualmente il prezzo a filoncino è di € 2 e per ragioni pratiche ogni aumento deve essere un multiplo
n di 10 centesimi. Studiamo la funzione V(n) che esprime la variazione della domanda in funzione di n
rispetto alla domanda iniziale D(2).
a. La funzione D(x) è una funzione omografica e rappresenta un’iperbole equilatera con asintoto verticale
di equazione x =- c e asintoto orizzontale di equazione y = b . Verifichiamo che la funzione D(x) è una
funzione omografica scrivendola nel seguente modo:
D (x) =
bx + bc + a
.
x+c
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11
Mettiti alla prova
Osserviamo che - c non è zero del numeratore, infatti - bc + bc + a = a , dove a è
parametro reale positivo.
La parte di grafico che costituisce il modello della situazione è quella del primo quadrante (deve essere x $ 0 ).
Dal grafico osserviamo che al crescere del
prezzo diminuisce la domanda, che rimane però sempre superiore a b.
y
x = –c
(
a+b
A 0; —
c
)
a +b
D(x) = —
x+c
y=b
x
O
Il valore b rappresenta la quantità minima
che sarà comunque venduta, indipendentemente dal prezzo.
a
La quantità c + b che si ottiene per x = 0
corrisponde al valore massimo della funzione D(x), e cioè è la quantità massima che il mercato è in grado di assorbire.
b. Si tratta di un bene essenziale: infatti anche a prezzi alti la domanda non si riduce a 0. b corrisponde alla
quantità minima necessaria che viene comunque venduta perché indispensabile alla sopravvivenza
(per esempio: acqua, cibo, medicine, energia).
c. Determiniamo la funzione V(n):
n
V ^nh = D `2 + 10 j - D ^ 2 h =
e
400
100n
n + 10 o - 110 =- n + 40 ,
4 + 10
La funzione V(n) rappresenta un arco di iperbole passante per l’origine, contenuto nel quarto quadrante e con
asintoto orizzontale y =- 100 .
Il grafico di V(n) mostra quanti filoncini in meno vende
il fornaio se decide di aumentare il prezzo di ciascun
filoncino di 10x centesimi.
Per esempio, un aumento di € 2, che corrisponde a n = 20 ,
comporterà un calo di vendite pari a circa 33 filoncini. Il
valore y =- 100 rappresenta il massimo calo di vendite.
36
12
con n ! N .
y
O
–10
–20
–30
–40
–50
–60
–70
–80
–90
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
n
V(n)
y = –100
REALTÀ E MODELLI In equilibrio Quando un bene è disponibile in abbondanza, il parametro che equilibra
la domanda e l’offerta del bene stesso è il suo prezzo di vendita. Se x è il prezzo in euro a unità di un bene,
1
d ^ x h = e1 - x la legge della domanda e g ^ x h = 2 x la legge dell’offerta, allora:
a. determina il prezzo di equilibrio del bene con due cifre decimali esatte, ossia il prezzo per il quale domanda e offerta assumono lo stesso valore;
b. traccia il grafico qualitativo della funzione h ^ x h = d ^ x h - g ^ x h , distanza tra domanda e offerta;
c. stabilisci per quale prezzo x ! 60, 50; [email protected] si ottiene la massima distanza tra domanda e offerta. Che tipo di
singolarità rappresenta per h(x) il prezzo di equilibrio del punto a?
[a) € 1,375; c) € 0,50, punto angoloso]
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Mettiti alla prova
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Conigli in pericolo Un batterio particolarmente diffuso negli allevamenti di conigli ne causa la cecità. La
rapidità di diffusione della popolazione batterica è descritta dalla
legge:
REALTÀ E MODELLI
B ^ t h = N ln ^- t2 + 2t + 1h ,
djem/Shutterstock
dove N è il numero iniziale di conigli presenti nell’allevamento,
B ^ t h è il tasso di variazione della popolazione batterica e il tempo t è espresso in giorni.
a. Dopo quanti giorni si ha il massimo della diffusione della
popolazione batterica?
b. Dopo quanti giorni la diffusione della popolazione batterica si arresta?
38
39
REALTÀ E MODELLI Timpano umano L’intensità di un suono
percepito da una persona, misurato in decibel, si ottiene dalla
P
formula 20 log a P k , dove P è la pressione sonora dell’onda acu0
stica e P0 è la minima pressione rilevabile dal nostro orecchio.
Una sirena emette un segnale sonoro variabile nel tempo secondo la legge P ^ t h = P0 ^1 + Ate-t h , dove A è una costante positiva
e t è misurato in secondi.
a. Per quanto tempo l’intensità aumenta?
b. Se un suono ha un’intensità superiore ai 130 dB si avverte
dolore. Qual è il massimo valore di A affinché la sirena non
provochi dolore?
c. Quanto vale l’intensità della sirena quando il tempo tende all’infinito?
Luis Molinero/Shutterstock
[a) 1 giorno; b) 2 giorni]
6a) 1 s; b) A - 8, 6 $ 106; c) 0 [email protected]
ESERCIZIO SVOLTO
Aria Dobbiamo realizzare una condotta
di aerazione di sezione circolare con raggio r = 1 m . La sezione è parzialmente occupata da un disco concentrico alla sezione stessa e da due segmenti circolari simmetrici, come in figura.
a. Detto 2a l’angolo al centro sotteso da ciascuno dei due segmenti circolari, esprimiamo in funzione di a l’area utile
S ^ah , corrispondente alla parte ombreggiata in figura.
b. Ricaviamo la misura in gradi, approssimata al primo decimale, dell’angolo a per il quale l’area utile S ^ah risulta massima e determiniamo la misura in metri quadrati, approssimata al secondo decimale, di tale area massima.
α
a. La superficie utile della condotta è costituita dalla differenza tra l’area del cerchio di raggio r = 1 m , che
vale r, e la somma della superficie del cerchio centrale, di raggio cos a, e del doppio della superficie di
un segmento circolare che sottende un angolo 2a:
S ^ah = r - r cos2 a - 2 ^a - sin a cos ah = r sin2 a - 2a + sin 2a .
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13
Mettiti alla prova
r
b. Deriviamo la funzione S ^ah rispetto ad a, dove 0 1 a 1 2 , quindi ricerchiamo gli zeri della funzione
derivata:
Sl^ah = r sin 2a - 2 + 2 cos 2a .
Posto X = cos 2a e Y = sin 2a , otteniamo:
rY - 2 + 2X = 0
4 - r2
" X = 10X =
;
2
2
4 + r2
X +Y = 1
Sl^ah = 0 " (
X = 1 " cos 2a = 1 " a = 0 non accettabile;
X=
4 - r2
4 - r2
1
4 - r2
" cos 2a =
" a = 2 arccos
- 1 rad - 57, 5° .
4 + r2
4 + r2
4 + r2
Il valore trovato corrisponde al punto di massimo cercato, come possiamo verificare osservando l’andamento del segno di Sl^ah in un intorno del valore stesso. In alternativa, possiamo anche considerare che
r
S ^ah si annulla per a = 0 e per a = 2 ed è positiva altrove, quindi in a - 1 rad , unico punto estremante interno all’intervallo di definizione, deve assumere il massimo relativo.
Il massimo corrispondente è:
S max = S ^1 h = r sin2 ^1 h - 2 $ 1 + sin ^ 2 h - 1, 13 m2 .
LEGGI IL GRAFICO Lo scivolo La figura a fianco rappresenta il profilo verticale di uno scivolo lungo il
quale sale una macchinina telecomandata dalla posizione iniziale A. Si hanno le seguenti informazioni:
A
ȼˏla macchinina è inizialmente ferma; Daniele aziona il telecomando
e la fa partire;
ȼˏDaniele abbandona improvvisamente il gioco e la macchinina si ferma prima di oltrepassare la sommità dello scivolo;
ȼˏla macchinina inizia a indietreggiare ma non riesce a recuperare,
scendendo, la sua posizione iniziale.
imagedb.com/Shutterstock
40
Nel diagramma sottostante sono rappresentate insieme la distanza s(t)
dall’origine, la velocità istantanea v(t) e l’accelerazione istantanea a(t)
della macchinina in funzione del tempo t.
s(t) (m)
v(t) (m/s)
a(t) (m/s2)
4
C3
2
O
–0,25
14
2
4
C1
C2
t (s)
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Mettiti alla prova
a. Associa ciascuna funzione a una delle curve rappresentate, motivando la tua risposta.
b. In base ai dati riportati sul diagramma, quali sono la massima distanza dall’origine e la massima velocità
istantanea raggiunte dalla macchinina? In quali istanti vengono raggiunti tali massimi?
c. Per quali valori dei parametri a, b, c la funzione
at2
, con t $ 0 ,
s^ t h = 2
t + bt + c
può plausibilmente adattarsi ai grafici rappresentati? Quale risulta la posizione finale della macchinina nel
limite t " + 3 ?
6a) s ^ t h - C3, v ^ t h - C2, a ^ t h - C1; b) s M ^ 4 h = 4 m, v M ^ 2 h = 2 m/s; c) a = 2, b =- 4, c = 8; [email protected]
41
ESERCIZIO SVOLTO
Borse termiche La dispersione di calore di una borsa frigo termica dipende da vari
fattori, uno dei quali è la sua superficie totale. Supponendo di voler produrre borse termiche della capacità
di 27 litri a forma di parallelepipedo di dimensioni a, 2a e b, determiniamone le dimensioni in millimetri
in modo da minimizzarne la superficie.
Il volume di un parallelepipedo di dimensioni a, 2a e b è:
V = 2a2 b .
b
Se esprimiamo le misure di a e b in decimetri e il volume, indifferentemente,
in litri o in dm3 (nelle misure di capacità, 1 L = 1 dm3), otteniamo:
2a2 b = 27 " b =
a
27
.
2a2
2a
La superficie totale del parallelepipedo, e quindi della borsa, è:
S (a; b) = 2 $ 2a2 + 2 $ ab + 2 $ 2ab = 4a2 + 6ab.
Sostituendo b, otteniamo:
81
S (a) = 4a2 + a .
Dobbiamo trovare il valore di a che minimizza la superficie S(a). Calcoliamo dunque la derivata prima e
studiamo il suo segno:
Sl(a) = 8a -
81
, con a 2 0.
a2
Sl(a) 2 0 " 8a -
8a3 - 81
3
2 0 " 8a3 - 81 2 0 " a 2 2
a2
3
3.
3
– 3
2
a
S'
81
20 "
a2
–
0
+
S
min
3
La superficie minima si ottiene quando a = 2
misure della borsa termica sono:
3
a= 2
3
3
3 (misura espressa in decimetri). Per questo valore di a le
3 dm " a - 216 mm ;
3
2a = 3 3 dm " 2a - 433 mm ;
b=
27
27
4
6
= 2 $ 3 = 3 dm " b - 288 mm .
2a2
9 9
9
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Mettiti alla prova
42
Considerata la parabola di equazione y = 4 - x2 , nel primo quadrante ciascuna tangente alla parabola delimita con gli assi coordinati un triangolo. Determinare il punto di tangenza in modo che l’area di tale triangolo
sia minima.
;a 2 3 ; 8 kE
3
3
[Corso di ordinamento 2015 - Sessione straordinaria - Questito 5]
43
Scrivere l’equazione della circonferenza C che ha il centro sull’asse y ed è tangente al grafico Gf di
f ^ x h = x3 - 3x2 nel suo punto di flesso.
63x2 + 3y2 + 14y + 13 = [email protected]
[Corso di ordinamento 2015 - Sessione straordinaria - Quesito 10]
44
Sia P ^ x h = x2 + bx + c . Si suppone che P ^P ^1 hh = P ^P ^ 2 hh = 0 e che P ^1 h ! P ^ 2 h . Calcolare P ^ 0 h .
3
8P ^0 h =- 2 B
[Scuole italiane all’estero (Europa) 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 4]
45
Una particella si muove lungo una certa curva secondo le seguenti leggi:
x ^ t h = 3 - 2 $ cos ^ t h ,
y ^ t h = 2 + 3 $ sin ^ t h .
Disegnare la traiettoria percorsa dalla particella per t che va da 0 a 2r secondi e determinare la velocità di
2
variazione di i, l’angolo formato dalla tangente alla traiettoria con l’asse x, per t = 3 r secondi.
rad
:-- 1, 14 s D
[Scuole italiane all’estero (Europa) 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 7]
46
Risolvere il seguente problema posto nel 1547 da Ludovico Ferrari a Niccolò Tartaglia:
«Si divida il numero 8 in 2 numeri reali non negativi in modo che sia massimo il prodotto di uno per l’altro
e per la loro differenza».
: 12 - 4 3 , 12 + 4 3 D
3
3
[Scuole italiane all’estero (Europa) 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 9]
47
Data la funzione y = (ax + b) ln x , con a e b parametri reali diversi da zero, trova i coefficienti a e b in modo
tale che il grafico della funzione abbia un flesso nel punto F(e; 1) e determina poi l’equazione della tangente
inflessionale.
1
1
3
1
:a = 2e ; b = 2 ; y = 2e x - 2 D
48
In un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è data la parabola di equazione y = 2x2 - 4x. Considerato il
vertice V, siano A e B due punti della parabola tali che il triangolo AVB risulti rettangolo in V.
1
Trova il valore minimo dell’area del triangolo AVB.
8A = 4 u2B
49
x 4 - 24x2
Studia la funzione y =
, evidenziando in particolare le sue intersezioni con gli assi, i suoi punti di
12
minimo e i suoi flessi.
Calcola poi il rapporto tra la superficie del trapezio, avente per vertici le intersezioni, diverse dall’origine, della
curva con l’asse delle ascisse e i punti di minimo della funzione, e la superficie del triangolo formato dalle
tangenti alla curva nei suoi punti di flesso e la congiungente i punti di flesso.
;intersezioni con gli assi ^! 2 6 ; 0h , (0; 0); punti di minimo ^! 2 3 ; - 12h ; punto di massimo (0; 0);
20
9
punti di flesso a! 2; - 3 k ; rapporto = 8 3 ^ 2 + 1h E
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Mettiti alla prova
50
È data una funzione f ^ x h derivabile 6x ! R . Nella tabella sono riassunte le informazioni di cui si dispone: il
segno di f l , la crescenza/decrescenza di f, alcuni valori particolari. Si sa inoltre che la derivata seconda è
f (x) = !3 .
continua 6x ! R e che xlim
"!3
x
f'(x)
–2
+
0
0
–
2
–
0
+
f(x)
(–2; π)
(0; 2)
(2; 3 )
Rispondi ai seguenti quesiti dando adeguata motivazione.
a. L’equazione della tangente al grafico nel punto di ascissa x = 0 , potrebbe essere:
ȼˏy = 2 ,
1
ȼˏy =- 2 x + 2 ,
ȼˏy = 2x + 1,
ȼˏx = 0 .
b. Puoi affermare che la funzione:
ȼˏha certamente almeno due punti di flesso;
ȼˏha certamente un punto di flesso;
ȼˏnon presenta punti di flesso;
ȼˏx =- 2 e x = 2 sono punti di flesso con tangente orizzontale.
1
8a) y =- 2 x + 2; b) ha certamente un punto di flessoB
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