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torsione semplice
1
8 Sollecitazioni semplici
TORSIONE SEMPLICE
1 Analisi della torsione semplice
Si verifica la sollecitazione di torsione semplice quando la
risultante delle forze esterne relativa a qualunque sezione è
nulla e le forze esterne si riducono a una coppia giacente nel
piano della sezione considerata.
Le forze che precedono la sezione considerata appartengono
a un piano α non contenente l’asse geometrico z del solido,
per cui hanno un momento rispetto all’asse stesso, detto
momento torcente, Mt = P ⋅ d [fig. 1].
Il solido è quindi sollecitato da due coppie di momento uguale
e contrario agenti alle estremità, su piani perpendicolari all’asse geometrico z [fig. 2].
Fig. 1
L’effetto che producono le due coppie è la rotazione di ogni sezione rispetto alla precedente di un certo angolo intorno a un
punto; l’insieme di tali punti individua l’asse geometrico del
solido; tale asse rimane rettilineo nella deformazione, mentre le
fibre a esso parallele si dispongono secondo un’elica.
Difficilmente in un solido si ha solo torsione, in quanto il solo
peso proprio dell’elemento produce anche le sollecitazioni di
flessione e taglio.
Si fa inoltre notare che la sollecitazione di torsione è molto comune negli organi meccanici, quali gli alberi di trasmissione,
mentre è piuttosto rara nelle costruzioni edili, potendosi verificare nelle travi a sostegno di scale a sbalzo [fig. 3] e in alcuni
casi di pensiline e balconi [fig. 4].
Il calcolo delle tensioni indotte dalla torsione può essere effettuato
con procedimenti elementari per sezioni circolari piene o cave.
Per altri tipi di sezioni lo studio risulta più complesso e viene
condotto applicando la teoria dell’elasticità, mentre per travi
tubolari di ridotto spessore si può giungere a risultati validi
anche se ottenuti con una trattazione approssimata.
Fig. 3
Fig. 2
Fig. 4
2 Sezione circolare piena
Considerando un solido cilindrico [fig. 5] sulle cui sezioni estreme
giacciono due coppie con momento Mt uguale e contrario, il valore del momento si mantiene costante per tutta la lunghezza l
del solido e determina una torsione, ossia le fibre, prima parallele e rettilinee, si dispongono secondo eliche cilindriche.
Questa deformazione si traduce in una rotazione di ogni sezione rispetto alla precedente di un certo angolo ϕ, detto angolo di torsione, tanto maggiore quanto più grande è la
distanza fra le due sezioni considerate; inoltre, in perfetta aderenza all’ipotesi di Navier, durante la deformazione le sezioni
© SEI - 2012
8 Sollecitazione semplici
Torsione semplice
si mantengono piane e non si deformano nel loro piano, per
cui i raggi uscenti dal centro restano rettilinei e ognuno di essi
ruota dell’angolo ϕ. L’asse geometrico del solido si mantiene
rettilineo.
Prendendo due sezioni s e t a distanza unitaria [fig. 5], la deformazione unitaria, detta in questo caso scorrimento unitario e indicato con γ, è rappresentata dallo spostamento b b1, cioè del punto
b in b1; tale spostamento dipende dall’angolo unitario di torsione Q e dalla distanza r del punto b dal centro O per cui risulta:
γ = Θ⋅r
In questa deformazione si ammette che la dilatazione di ogni
fibra sia nulla (σ = 0).
2
Un elemento piccolissimo di area a distante della quantità generica r da O e appartenente a una sezione qualsiasi è soggetto a uno sforzo τ ⋅ a; detto sforzo, rispetto al centro O della
sezione, genera un momento torcente:
Mt = τ ⋅ a ⋅ r
nel quale sostituendo la [1] si ha:
Mt = G ⋅ Θ ⋅ r ⋅ a ⋅ r = G ⋅ Θ ⋅ a ⋅ r2
Estendendo lo stesso ragionamento a tutti gli elementi piccolissimi costituenti il cerchio di raggio R si ottiene:
Mt = G ⋅ Θ ⋅ ∑ (a ⋅ r2)
sostituendo la [2] e osservando che il termine fra parentesi
rappresenta il momento d’inerzia polare del cerchio, si ha:
Mt =
τ
r
⋅ Ip
da cui
τ=
Mt ⋅ r
Ip
[3 e 4]
che fornisce la tensione tangenziale in un punto generico a distanza r dal centro O; è opportuno notare l’analogia della formula con quella della flessione semplice.
Le tensioni tangenziali variano con legge lineare da un valore
nullo in corrispondenza del centro O a quello massimo nelle
fibre più lontane a distanza R [fig. 7].
Poiché la tensione massima si verifica al contorno della sezione circolare, per r = R = D/2 si avrà:
Fig. 5
Limitandosi a considerare due sezioni adiacenti qualsiasi, la rotazione di una di queste rispetto all’altra è dovuta a tensioni tangenziali τ, determinate dalle forze esterne applicate, normali
alle fibre longitudinali della trave e giacenti nel piano delle sezioni, alle quali si oppongono le tensioni interne che in ogni
caso non devono superare quelle massime consentite.
Queste tensioni tangenziali τ, in una sezione generica [fig. 6],
sono proporzionali alla distanza r dal centro della sezione
(τ1 < τ2 < τ3).
La tensione tangenziale τ è perpendicolare al raggio passante
per il punto C generico e allo scorrimento che avviene del
punto generico da C a C1 per effetto della torsione [fig. 6]; per
la legge di Hooke tale scorrimento è proporzionale alla tensione tangenziale per cui si ha:
τ = G⋅γ = G⋅Θ⋅r
da cui
G⋅Θ =
τ
r
[1 e 2]
τ max =
Mt ⋅
D
2
Ip
[5]
dove il rapporto
I
Wt = p
D
2
rappresenta il modulo di resistenza a torsione, ed essendo:
Ip =
π ⋅ D4
32
sostituendo si ottiene:
τ max =
16 ⋅ M t
π ⋅ D3
[6]
che fornisce la tensione tangenziale massima per torsione
di una sezione circolare.
essendo G il modulo di elasticità tangenziale che varia da materiale a materiale.
Fig. 6
Fig. 7
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8 Sollecitazione semplici
Per la sezione circolare l’ipotesi che le sezioni si mantengano
piane durante la deformazione si può ritenere reale; altrettanto
non è nel caso di altre sezioni quale quella rettangolare.
Mentre per la sezione circolare la distribuzione delle tensioni
è lineare dal centro al contorno, per altre forme di sezione
questo non si verifica.
Particolarmente per la sezione circolare, l’andamento delle
tensioni può essere evidenziato in modo abbastanza esatto rifacendosi a una analogia idrodinamica; quando un liquido,
contenuto in un recipiente con la stessa forma della sezione,
viene sottoposto a un moto rotatorio, le molecole del liquido
nel loro movimento percorrono delle traiettorie che, in una
sezione, sono analoghe alle linee di uguale tensione tangenziale dovute alla torsione; infatti la velocità di una molecola
dipende dalla sua distanza dal centro della sezione, come si
verifica per le tensioni.
Torsione semplice
3
L’angolo totale di torsione fra due sezioni poste a distanza l
è dato da:
M ⋅l
ϕ= t
G ⋅ Ip
e sostituendo i valori di contorno della sezione circolare si ha:
32 ⋅ Mt ⋅ l
ϕ=
[7]
π ⋅ G ⋅ D4
che permette di calcolare l’angolo totale di torsione al contorno fra due sezioni espresso in radianti.
Il valore del modulo di elasticità tangenziale G è legato al modulo di elasticità E dalla relazione:
m
G=
⋅E
2 ⋅(m + 1)
essendo 1/m = µ il coefficiente di Poisson.
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Su un corto albero di trasmissione in acciaio, con diametro Ø = 40 mm e lunghezza l = 0,60 m, è montata una puleggia
con raggio r = 30 cm.
Calcolare il carico massimo perimetrale che può essere sollevato e l’angolo totale di torsione, facendo in modo che la
tensione massima non superi il valore di 120 N/mm2.
1
Assumendo per l’acciaio una tensione massima τ = 120 N/mm2, si applica la formula di collaudo:
Mt =
π ⋅ D3 ⋅ τ
16
=
π ⋅ 403 × 120
16
≈ 1507,96 × 103 ≈ 1,51 kN m
ed essendo il momento torcente dato da:
Mt = P ⋅ r
ossia
1,51 = P ⋅ 0,30
si ricava:
P=
1,51
≈ 5,03 kN
0,30
Assumendo G = 85 × 103 N/mm2, l’angolo totale di torsione vale:
32 ⋅ Mt ⋅ l 32 × 1,51 × 106 × 600
ϕ=
=
≈ 0,0424 radianti
π ⋅ G ⋅ D4
π ⋅ 85 × 103 × 404
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8 Sollecitazione semplici
2
Torsione semplice
4
Un albero di trasmissione in acciaio, lungo 1,50 m e con il diametro D = 80 mm, è sollecitato dal momento torcente
Mt = 9 kNm.
Calcolare la tensione massima che si verifica nell’albero e l’angolo totale di torsione.
La tensione tangenziale massima risulta:
16 ⋅ Mt 16 × 9 × 106
τmax =
=
≈ 89,52 N/mm2
π ⋅ D3
π ⋅ 803
Assumendo per il modulo di elasticità tangenziale il valore G = 85 × 103 N/mm2, l’angolo totale di torsione vale:
32 ⋅ Mt ⋅ l 32 × 9 × 106 × 1,50 × 103
ϕ=
=
≈ 0,0395 radianti
π ⋅ G ⋅ D4
π ⋅ 85 × 103 × 804
3
Un albero in acciaio, con diametro D = 70 mm, è soggetto al carico P = 20 kN applicato all’estremità di una mensola
lunga 400 mm in direzione normale all’asse dell’albero, situata in una posizione intermedia.
Calcolare i valori dei momenti torcenti nei due tratti AC e BC, e determinare la tensione massima.
e semplificando si ottiene:
Mt,(AC) ⋅ a = Mt,(BC) ⋅ b
a=
40
I=
0
13
Inoltre deve essere:
00
b=
Mt,(AC) + Mt,(BC) = Mt
90
Risolvendo il sistema formato da queste ultime due relazioni,
ponendo Mt,(AC) = Mt − Mt,(BC) e a + b = l, si ricava:
Mt ⋅ a
8 × 106 × 0,40 × 103
Mt,(BC) =
=
≈
1,30 × 103
l
≈ 2,46 × 106 N mm ≈ 2,46 kN m
0
A
Analogamente si ha:
Mt ⋅ b
8 × 106 × 0,90 × 103
Mt,(AC) =
=
≈
l
1,30 × 103
≈ 5,54 × 106 N mm ≈ 5,54 kN m
C
P
c=
40
0
B
La tensione massima risulta:
16 ⋅ Mt 16 × 8 × 106
τmax =
=
≈ 118,79 N/mm2
π ⋅ D3
π ⋅ 703
Il momento torcente vale:
Mt = P ⋅ c = 20 × 0,40 = 8 kN m
La sezione C, pensata come appartenente al tronco AC, ruota
dell’angolo ϕ(AC) che deve essere uguale all’angolo ϕ(BC) del
quale ruota la stessa sezione C pensata come appartenente al
tronco BC, ossia ϕ(AC) = ϕ(BC) e sostituendo la [7] si ha:
32 ⋅ Mt,(AC) ⋅ a 32 ⋅ Mt,(BC) ⋅ b
=
π ⋅ G ⋅ D4
π ⋅ G ⋅ D4
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8 Sollecitazione semplici
Torsione semplice
5
3 Sezione circolare cava
Quanto esposto per la sezione circolare piena è valido anche
quando la sezione è una corona circolare [fig. 8].
Indicando con De − Di la differenza fra i diametri esterno e interno, si ha:
■ momento d’inerzia polare:
Ip =
■
π ⋅(De4 − Di4 )
32
tensione tangenziale massima al contorno:
τ max =
■
16 ⋅ M t
π ⋅(D3e − D3i )
[8]
angolo di torsione totale:
ϕ=
Fig. 8
32 ⋅ M t ⋅ l
π ⋅ G ⋅(De4 − Di4 )
E S E R C I Z I S V O LT I
4
Una sezione circolare cava in acciaio, lunga 1,30 m, presenta un diametro esterno De = 140 mm e interno Di = 120 mm ed
è soggetta a un momento torcente Mt = 24 kN m. Verificare la stabilità della sezione e calcolare l’angolo di torsione
dell’asse.
Assumendo una tensione tangenziale ammissibile τam = 120 N/mm2, con la formula di verifica si ottiene:
Wt =
π ⋅(D3e − D3i )
=
π ⋅(143 − 123 )
≈ 199,49 cm3
16
16
M
24 × 106
τ= t =
≈ 120,31 N/mm2
3
Wt 199,49 × 10
L’angolo di torsione totale risulta:
32 ⋅ Mt ⋅ l
32 × 24 × 106 × 1300
ϕ=
=
≈ 0,02115 radianti
π ⋅ G ⋅ (D4e − D4i) π ⋅ 85 000 × (1404 − 1204)
5
Una sezione circolare piena con diametro D = 90 mm e una anulare con lo stesso diametro esterno e spessore della parete
s = 15 mm sono entrambe sollecitate dal momento torcente Mt = 11 kN m.
Calcolare le tensioni che si verificano nelle due sezioni e confrontare i valori ottenuti.
Sezione circolare piena
La tensione massima risulta:
τmax =
16 ⋅ Mt 16 × 11 × 106
=
≈ 76,85 N/mm2
π ⋅ D3
π ⋅ 903
Sezione anulare
Il diametro interno è Di = 90 − 30 = 60 mm.
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Torsione semplice
6
La tensione massima risulta:
τmax =
16 ⋅ Mt
16 × 11 × 103
=
≈ 109,21 N/mm2
π ⋅ (D3e − D3i) π ⋅ (903 − 603)
Confrontando i risultati si possono fare le seguenti osservazioni:
2
2
■ la sezione circolare piena ha un’area A ≈ 63,62 cm mentre quella della sezione anulare è A ≈ 35,34 cm , ossia è circa 1,8 volte
minore rispetto alla prima, con una uguale riduzione di materiale;
■ a parità di momento torcente, la tensione nella sezione circolare piena è circa 1,42 volte minore rispetto a quella della sezione
anulare;
■ in base a quanto sopra, si deduce che, a parità di tensione, la sezione piena con un’area 1,8 volte più grande di quella anulare
può sopportare un momento torcente solo 1,42 volte maggiore rispetto a quello della sezione anulare, che risulta quindi più
conveniente.
4 Sezioni non circolari
La teoria elementare applicata per sezioni circolari piene o
cave non è più valida per le sezioni non circolari, in quanto
le sezioni, inizialmente piane, per effetto
dell’azione torcente si deformano, diventando cioè gobbe, pur mantenendosi rettilinei i raggi uscenti dal centro della
sezione [fig. 9].
Inoltre, le tensioni tangenziali massime si
verificano nei punti del contorno più vicini
al baricentro della sezione anziché in quelli
più lontani.
La tensione tangenziale massima viene calcolata con la relazione:
Mt
τmax = α ⋅
[9]
b ⋅ a2
dove a e b rappresentano rispettivamente le dimensioni minore e maggiore della sezione, mentre α è un coefficiente variabile in funzione del rapporto b/a e i suoi valori sono riportati
nella tabella 1, oppure possono essere calcolati con la formula:
a
α = 3 + 1,8 ⋅ .
b
Per sezioni non circolari lo studio della torsione risulta quindi molto complesso e generalmente per il calcolo delle tensioni
tangenziali si ricorre a formule empiriche.
Verrà esaminata solo la sezione rettangolare, per la quale verranno fornite solo le
formule applicative finali.
Fig. 9
Sezione rettangolare
Lungo le diagonali, la tensione tangenziale, partendo da un
valore nullo in corrispondenza del baricentro G, cresce sino a
un certo punto, quindi diminuisce per ritornare a un valore
nullo ai vertici, ove non si hanno quindi distorsioni [fig. 10].
Lungo le mediane le tensioni aumentano da un valore nullo in
G a un massimo alle estremità, per cui la massima distorsione
si verifica nei punti di mezzo dei lati, e in particolare è maggiore nei punti medi dei lati maggiori; in questi ultimi punti si
verifica quindi la tensione tangenziale maggiore rispetto a
qualsiasi altro punto del contorno.
Il diagramma delle tensioni è riportato in figura 10.
Fig. 10
Tabella 1
b/a
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
a
4,804
4,67
4,57
4,48
4,40
4,33
4,27
4,21
4,16
b/a
2
2,5
3
4
5
6
8
10
20
4,07
3,88
3,74
3,55
3,43
3,35
3,26
3,20
3,10
a
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Torsione semplice
Profilati metallici
La sezione dei profilati di acciaio, con esclusione di quelli con
sezione tubolare, è costituita di rettangoli con larghezza ai e
con spessori differenti si; la tensione massima per torsione si
verifica lungo i bordi del rettangolo con lo spessore maggiore
smax e viene calcolata con la relazione:
τmax =
3 ⋅ Mt ⋅ smax
7
È da rilevare che le sezioni aperte, come sono quelle dei profilati, hanno una resistenza molto scarsa a torsione, resistenza
che si riduce ancora quando la torsione è accompagnata anche
da un sia pure limitato momento flettente.
[10]
i=n
Σ (ai ⋅ s3i )
i=1
E S E R C I Z I S V O LT I
6
Una trave in legno con sezione quadrata di 24 × 24 cm2 e con luce l = 2,80 m, impedita a ruotare alle estremità, presenta normalmente al suo asse una mensola lunga 0,70 m, sulla cui estremità è applicato il carico P = 6 kN (vedi figura); l’asse della
mensola è situato alla distanza di 1,80 m dall’estremo A.
Calcolare i momenti torcenti che si verificano nei due tronchi AN e BN, la tensione massima e tracciare il diagramma delle
tensioni.
ed essendo ϕ(AN) = ϕ(BN):
0
β⋅
⋅s
M t (AN ) ⋅ r
M
= β ⋅ t (BN )4
4
G⋅b
G⋅b
e semplificando:
Mt(AN ) ⋅ r = Mt(BN )⋅ s
[11]
Inoltre deve anche essere:
Mt(AN ) + Mt(BN ) = Mt
Risolvendo il sistema formato da queste due ultime relazioni
si ottiene:
Mt(AN ) = Mt − Mt(BN)
e sostituendo nella [11] e risolvendo rispetto a Mt(BN ) si ha:
M t (BN ) =
Il momento torcente ha il valore:
Mt = 6 × 0,70 = 4,20 kN m = 4,20 × 106 N mm
Avendo lunghezza differente, nei due tronchi AN e BN il momento torcente avrà valori diversi che possono essere calcolati tenendo presente che l’angolo di rotazione della sezione
in N rispetto all’estremo A deve essere uguale a quello rispetto
all’altro estremo B, ossia:
ϕ(AN ) = β ⋅
M t (AN ) ⋅ r
G ⋅ b4
ϕ(BN ) = β ⋅
M t (BN ) ⋅s
G ⋅ b4
Mt ⋅ r
4,20 × 106 × 1800
= 2,70 × 106 N mm
=
2800
l
0
e anche:
M t(AN ) =
4,20 × 106 × 1000
M t ⋅s
= 1,50 N mm
=
2800
l
0
b
= 1 dalla tabella 1 si ricava α = 4,804; la tensione masa
sima risulta:
M
4,20 × 106
τmax = α ⋅ 3t = 4,804 ×
= 1,46 N/mm2
b
2403
Per
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7
Torsione semplice
8
Su una trave, incastrata agli estremi, con luce l = 4,50 m e sezione rettangolare di 25 × 40 cm2 [fig. a], è impostato per tutta
la sua lunghezza un balcone con lo sbalzo di 1,20 m, sul quale grava il carico ripartito uniforme q = 7,00 kN/m.
Calcolare la tensione massima nella trave.
40
q
a)
a
25
120
b)
b
450
11,34
0
Mt
0
11,34
Il carico totale sul balcone vale:
Q = 7,00 × 1,20 × 4,50 = 37,80 kN
e produce il momento torcente sull’intera trave:
Mt,tot =
Q⋅l
37,80 × 1,20
=
= 22,68 kN m
2
2
che viene equilibrato dai momenti di incastro Mt che si hanno alle estremità della trave stessa, uguali e con valore:
Mt =
Mt,tot
22,68
=
= 11,34 kN m
2
2
Il diagramma di distribuzione del momento torcente sulla trave è riportato in figura, dal quale risulta che le sezioni più sollecitate sono quelle di estremità.
b
40
In base al rapporto
=
= 1,60, dalla tabella 1 si ricava α = 4,27; si ha quindi:
a
25
τmax = α ⋅
Mt
11,34 × 106
=
4,27
×
≈ 1,93 N/mm2
b ⋅ a2
400 × 2502
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Torsione semplice
9
Considerando le sezioni di uguale area riportate in figura, sollecitate dal momento torcente Mt = 12 kN m, calcolare la tensione tangenziale massima che si verifica in ognuna di esse e metterle a confronto (misure in cm).
8
Sezione b
60
Per
b 45
a
=
= 2,25 si ha α = 3 + 1,8 ⋅ =
a 20
b
20
= 3 + 1,8 ×
15
45
a)
b)
τmax = 3,80 ×
1
= 3,80 e quindi:
2,25
12 × 106
≈ 2,53 N/mm2
450 × 2002
Sezione c
b
= 1 si ha α = 4,804 e quindi:
Dalla tabella 1 per
a
30
τmax = 4,804 ×
12 × 106
≈ 2,14 N/mm2
3003
Sezione d
30
33,8513
c)
d)
Sezione a
b 60
=
= 4, dalla tabella 1 si ricava α = 3,55 e quindi:
a 15
Mt
12 × 106
τmax = α ⋅
=
3,55
×
≈ 3,16 N/mm2
b ⋅ a2
600 × 1502
Essendo
τmax =
16 ⋅ Mt
16 × 12 × 106
=
≈ 1,58 N/mm2
3
π⋅D
π ⋅ 338,5133
Analizzando i risultati ottenuti si osserva che, diminuendo il
b
rapporto , si riducono anche le tensioni, che assumono un
a
valore minimo per la sezione quadrata, oppure per la sezione
rettangolare con dimensioni poco diverse fra loro. La sezione
ottimale ai fini statici sarebbe quella circolare, ma in genere
non viene utilizzata nell’edilizia per le difficoltà di inserimento
con altre strutture.
Calcolare la tensione massima che si ha nella sezione di un profilato HE 240 B soggetta a un momento torcente Mt = 6 kN m.
9
Dalla tabella relativa ai profilati HE si ricavano le caratteristiche geometriche del profilato riportate in figura. Si calcola ora
il denominatore della [10] considerando i tre rettangoli che
compongono la sezione:
17
y
i=3
Σ (ai ⋅ s3i) = 2 × 240 × 173 +
206
+ (240 − 2 × 17) × 103 = 2564,24 × 103 mm4
240
i=1
x
G
τmax =
3 ⋅ Mt ⋅ smax
i=3
Σ (ai ⋅ s3i )
i=1
=
3 × 6 × 106 × 17
≈ 119,33 N/mm2
2564,24 × 103
17
Lo spessore maggiore è quello delle due ali con smax = 17 mm,
per cui la tensione tangenziale massima risulta:
10
240
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Torsione semplice
10
ESERCIZI
Sezione circolare piena
Sezioni non circolari
1 Una mensola è realizzata con un tondo in acciaio del
6 Una mensola è soggetta all’estremità libera al momento
2 La sezione circolare con diametro D = 80 mm di un
[sezione rettangolare τ ≈ 1,416 N/mm2;
sezione circolare τ ≈ 0,93 N/mm2; la tensione nella
sezione circolare è circa 1,5 volte inferiore]
diametro D = 80 mm e all’estremità libera agisce una
coppia con forze P = 15 kN e braccio b = 0,50 m.
Calcolare la tensione massima dovuta al momento torcente.
[τ ≈ 74,60 N/mm2]
albero lungo 1,40 m è soggetta al momento torcente
Mt = 10 kN m.
Calcolare la tensione massima nella sezione e l’angolo
totale di torsione.
[τ ≈ 99,47 N/mm2; ϕ = 0,041 radianti]
torcente Mt = 4,50 kNm.
Confrontare le tensioni che si hanno adottando due sezioni equivalenti, una rettangolare di 19 × 35 cm2 e l’altra circolare con diametro D = 29,10 cm.
7 Confrontare le tensioni che si verificano in due travi con
sezioni equivalenti, una di 25 × 25 cm2 e l’altra di
20 × 31,25 cm2, entrambe sollecitate dal momento torcente Mt = 6 kN m.
[sezione quadrata τ ≈ 1,845 N/mm2;
sezione rettangolare τ ≈ 1,993 N/mm2;
nella sezione rettangolare la tensione
è superiore di circa 1,08%]
3 Determinare il diametro di un elemento con sezione cir-
Sezione circolare cava
8 Calcolare la tensione massima che si verifica nella sezione del profilato IPE 300 soggetta al momento torcente Mt = 2,5 kN m.
y
10,7
4 Un elemento tubolare con diametri esterno De = 110 mm
[τ ≈ 93,28 N/mm2; ϕ = 0,0273 radianti]
300
e interno Di = 80 mm e lungo 1,60 m, perfettamente incastrato alle estremità, è soggetto al momento torcente
Mt = 15 kN m, applicato nella sezione di mezzeria.
Calcolare la tensione massima e l’angolo totale di torsione
(assumere G = 85 × 103 N/mm2).
278,6
colare, incastrato agli estremi, sollecitato nella sezione
di mezzeria da un momento torcente Mt = 15 kNm, con
l’ipotesi che la tensione massima non risulti superiore a
100 N/mm2.
[D ≈ 92 mm]
x
G
colare cava con diametro esterno De = 80 mm e spessore di parete s = 12 mm, è montata una puleggia con
raggio r = 300 mm sottoposta a uno sforzo perimetrale
di 20 kN.
Calcolare la tensione tangenziale massima nell’albero.
[τ ≈ 90,84 N/mm2]
10,7
5 Su un albero di trasmissione, realizzato in sezione cir-
7,1
150
[τ ≈ 171,76 N/mm2]
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