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Il metodo di Feynman della somma sui molti cammini per l

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Il metodo di Feynman della somma sui molti cammini per l
Il metodo di Feynman della somma sui molti cammini
per l’introduzione della Meccanica Quantistica
Sezione B: introduzione all’oggetto quantistico di Feynman
Questa sezione ci introduce nel cuore del metodo della somma dei molti cammini di Feynman.
Seguiremo, con una certa libertà, la prima parte del popolare libro di Feynman, “QED, la strana
teoria della luce”, secondo la traccia indicata da E.F.Taylor, Computers in Physics 12, 1998, 190,
che per primo propose un modello grafico basato su un software accattivante per implementarlo.
Tutto il corso di Taylor è reperibile nel sito web http://www.eftaylor.com/download.html. Noi
useremo invece dei semplici fogli excel, che sono un po’ meno accattivanti, ma hanno il pregio di
essere facilmente sviluppabili e ampliabili a nuove applicazioni.
L’obiettivo è di acquisire famigliarità con le proprietà peculiari dell’oggetto quantistico di
Feynman che sono in parte comuni a quelle delle onde esaminate nella sezione A (in particolare il
“principio di sovrapposizione”), in parte diverse (in particolare la “probabilità quantistica”)
L’organizzazione di questa sezione è la seguente.
Viene presentato anzitutto l'oggetto quantistico, che contiene il cuore del metodo: vengono discusse
le ipotesi, le regole e l’impostazione del calcolo per poterle applicare ai singoli casi. L’oggetto
quantistico con cui si parte è un elettrone e non un fotone, perché con un elettrone appare più
naturale ragionare in termini di “corpuscolo” e quindi scoprire come i nuovi comportamenti creati
dalle ipotesi del modello di Feynman siano facilmente introducibili e conciliabili con il modello.
Svilupperemo poi in dettaglio tutti i calcoli con l'aiuto di semplici fogli excel nel Tutorial: sono i
primi calcoli che hanno lo scopo principale di far acquistare famigliarità con i “molti cammini”
dell'oggetto quantistico, con i relativi vettori di fase e con le regole per “sovrapporli” in modo da
ottenere la “probabilità quantistica” di rivelare l’oggetto. I concetti di “sovrapposizione” e di
“probabilità” sono i due concetti chiave, tipicamente quantistici, che questo foglio permette di
approfondire. I cammini iniziano in un punto A (sorgente) e terminano in un punto B (rivelatore)
dopo essere passati attraverso una fenditura lasciata aperta fra due ostacoli.
Materiali
1. L’oggetto quantistico: contiene la descrizione delle ipotesi e delle regole per il calcolo del moto
dell’oggetto quantistico di Feynman
2. Tutorial: contiene la descrizione dettagliata dell’applicazione delle regole di calcolo all’esempio
sviluppato nei fogli excel “Tutorial-calcolo”
3. Consigli per il tutorial: contiene alcuni consigli per l’uso del foglio e suggerimenti di esercizi
utili
4. Tutorial-calcolo: si tratta di due fogli excel con i primi calcoli per prendere famigliarità con le
ipotesi e regole del metodo dei molti cammini
- Fey-s-tutorial.xls: si inizia con una fenditura stretta, per la quale passa un solo cammino e
poi la si allarga aggiungendo via via cammini ai bordi
- Fey-l-tutorial.xls: si inizia con una fenditura larga e si analizzano ordinatamente i cammini
a partire da uno dei bordi
1
Punto 1 L’oggetto quantistico: ipotesi e regole
L'oggetto quantistico è, per così dire, un'invenzione di Feynman.
Fin dall'inizio del suo libro "QED, la strana teoria della luce", Feynman infatti dice chiaramente
che, se vogliamo capire come avviene il moto nelle condizioni estreme in cui è obbligatorio
ricorrere alle leggi della meccanica quantistica, perché le leggi classiche sono inadeguate, dobbiamo
staccarci, anche nel linguaggio, dal modo di esprimersi proprio della meccanica classica, che è
anche quello a noi più congegnale, dato che, in fondo, anche noi siamo degli oggetti "classici".
Vediamo che cosa dice Feynman:
"Noi sappiamo quale è il comportamento degli elettroni e della luce. Ma come potrei
chiamarlo? Se dico che si comportano come particelle, dò un'impressione errata, ma anche
se dico che si comportano come onde. Essi si comportano nel loro proprio modo inimitabile
che tecnicamente potrebbe essere chiamato il "modo quanto-meccanico". Si comportano in
un modo che non assomiglia a nulla che possiate aver mai visto prima. La vostra esperienza
con cose che avete visto prima è incompleta. Il comportamento delle cose su scala molto
piccola è semplicemente diverso".
Dato che le associazioni mentali, evocate dall'uso di certe parole come "onda" o "corpuscolo", sono
fuorvianti, chiameremo per brevità oggetto quantistico l'oggetto che si comporta in un "modo
quanto-meccanico". Potrà essere l'elettrone o la luce o un atomo o anche un oggetto molto
complesso con massa elevata, perché il comportamento quanto-meccanico è osservabile non solo in
particelle elementari o molto semplici, ma in via di principio in qualunque oggetto, basta mettersi
nelle condizioni adatte ed avere la tecnica di rivelazione adatta1.
Le ipotesi
L'ipotesi di partenza di Feynman è la relazione di Planck che lega l'energia E alla frequenza f
attraverso il quanto di azione h:
E = hf
(1)
Esaminiamo prima il comportamento di un oggetto massivo, perché classicamente sappiamo
descriverlo più facilmente con la meccanica newtoniana, in particolare facciamo l'ipotesi che nello
spazio in cui andiamo a esaminare il suo moto non ci siano campi di forza, quindi il moto è,
classicamente, "rettilineo-uniforme". Per fissare le idee pensiamo a un elettrone, ma nei calcoli
lasceremo poi la possibilità di variare la massa m dell'oggetto per esplorare che cosa succede per
masse diverse.
Supponiamo di avere in un certo punto A una sorgente da cui partono gli elettroni con una certa
energia cinetica E, e di mettere in un punto B, posto a una certa distanza D, un rivelatore: per fissare
le idee, la sorgente potrebbe essere un filamento caldo come quello di un tubo televisivo, e il
rivelatore una emulsione fotografica o uno schermo fosforescente, o un qualunque dispositivo che
segnala l'arrivo dell'elettrone.
Le dimensioni della sorgente in A e del rivelatore in B siano completamente trascurabili rispetto
alla distanza D e a qualunque altra distanza che entrerà in gioco.
Figura 1
1
L'oggetto più massivo e più complesso per il quale sono stati finora rivelati comportamenti quanto-meccanici è il
fullerene, che è una molecola formata da 60 atomi di carbonio, cioè da 60 nuclei di carbonio e da 360 elettroni!
2
Vediamo prima che cosa ci aspettiamo per un elettrone che ha un comportamento classico e che
segue quindi una traiettoria rettilinea (per semplicità supponiamo che fra A e B non ci sono campi
di forza): perché arrivi in B basta che sia emesso da A con una direzione della velocità compresa in
un cono che intercetta la zona in cui c'è il rivelatore.
Figura 2
Se mettiamo, nella zona fra A e B, degli ostacoli che possano bloccare interamente un elettrone di
quella energia, possono succedere solo due cose, nettamente distinte:
nessun ostacolo intercetta la traiettoria dell'elettrone e allora l'elettrone arriva in B come se
gli ostacoli non ci fossero (Figura 3a),
uno degli ostacoli la intercetta e allora l'elettrone non arriva più per nulla (Figura 3b).
(3a)
(3b)
Figura 3
L'effetto è quindi di tipo "SI o NO": non ci sono situazioni intermedie (con il rivelatore vedremmo
che l'intensità del segnale resta immutata oppure che va a zero).
Nel seguito, faremo riferimento a una situazione semplificata, schematizzata in Figura 4, in cui c'è
un ostacolo, posto a distanza DA dalla sorgente, con una fenditura di larghezza Dtrasv proprio in
corrispondenza della traiettoria dell'elettrone: l'elettrone passa, indipendentemente della larghezza
della fenditura, quindi siamo nella situazione di tipo "SI". Se però la larghezza fosse così piccola da
bloccarlo, si passerebbe bruscamente alla situazione di tipo"NO".
Figura 4
3
Per un "oggetto quantistico" invece non si può pensare a niente di simile a una "traiettoria", cioè a
una sequenza di posizioni ben definite e perfettamente determinabili se si conosce la velocità
iniziale e il campo di forze. Per Feynman l'oggetto quantistico di energia E è definito, oltre che dalle
grandezze già note dalla meccanica classica, quali massa, velocità e quantità di moto, anche dalla
frequenza f, legata all'energia E dalla relazione di Planck (eq. 1).
E' proprio questa frequenza la caratteristica nuova dell'oggetto quantistico, che manca
assolutamente nell'oggetto classico e dalla quale seguono le proprietà peculiari dell'oggetto
quantistico che ne determinano il moto.
La prima proprietà è che, avendo una frequenza propria, l'oggetto quantistico ha una
"periodicità intrinseca", con un periodo T pari all'inverso della frequenza. Feynman infatti
parla di un "orologio interno" ("stopwatch"), che gira nel tempo con un periodo T=1/f.
La seconda proprietà è che, come per tutti i fenomeni periodici, lo stato dell'oggetto
quantistico si ripete in modo identico solo a distanza di un periodo, ma, all'interno del
periodo, lo stato passa attraverso fasi diverse, che si ripetono identicamente nel periodo
successivo (come fanno ad esempio le oscillazioni verticali di una molla, che passano per
una fase in cui l'ampiezza dell'oscillazione è massima verso il basso, poi tornano alla
posizione di equilibrio iniziale per proseguire con una oscillazione verso l'alto e così via).
Feynman suggerisce di visualizzare la fase pensando alla lancetta dell'immaginario orologio
e definire la fase ! come l'angolo fra una direzione di riferimento e la direzione a cui essa
punta a un certo istante, come in figura 5. Chiameremo vettore di fase il vettore di lunghezza
unitaria associato a questa lancetta ideale.
Figura 5
La terza caratteristica è il cammino " percorso dall'oggetto quantistico mentre la sua fase fa
un giro completo di 2#. Tale cammino dipende dalla quantità di moto p dell'oggetto e si
calcola dalla relazione di de Broglie [nota a]:
"=h/p
(2)
Naturalmente non dobbiamo prendere alla lettera la rappresentazione dell'orologio interno e
immaginare l'oggetto quantistico come una specie di "signore" che viaggia effettivamente con un
orologio al collo e guarda continuamente dove punta la sua lancetta! Si tratta solo di un artifizio per
rendere più chiaro il significato del calcolo matematico e nel seguito lo utilizzeremo proprio in
questo senso, cioè come una rappresentazione "pittorica" della fase. Un esempio è visualizzato in
Figura 6: l'oggetto quantistico è diventato un omino che parte da A e viaggia con il suo orologio e
relativo vettore di fase, il cammino che segue non è necessariamente rettilineo, ciò che importa è
che, mentre percorre il cammino, l'orologio gira passando periodicamente per le stesse fasi e dopo
un percorso pari a l torna ad avere la stessa fase.
4
Figura 6
Le regole
Vediamo ora come da queste tre caratteristiche si calcola, nel modello di Feynman, il moto
dell'oggetto quantistico. Le regole per il calcolo sono giustificate dal fatto che, applicandole, si
riesce a descrivere tutti i dati sperimentali relativi al moto degli oggetti e che si ritrova la
descrizione classica del moto nelle condizioni in cui si può considerare trascurabile l'effetto della
costante di Planck (cioè quando le variazioni dell'azione coinvolte nel moto sono molto più grandi
della costante di Planck: questo è il principio di corrispondenza). Le regole sono le seguenti.
a. I cammini
Anzitutto, partendo da A, l'oggetto quantistico non è obbligato a seguire una traiettoria
particolare, come farebbe l'oggetto classico (ad esempio la linea retta in assenza di forze,
oppure la traiettoria calcolabile con la legge della meccanica newtoniana in presenza di
forze), ma esplora tutti i cammini possibili: questo perché, abbandonando la legge di
Newton, non c'è più nessun motivo di imporre che la posizione a un certo istante sia
necessariamente quella calcolabile a partire dalla posizione nell'istante precedente secondo
la legge di Newton. In Figura 7, mostriamo un esempio di cammini possibili, che conducono
da A a B (ma ce ne sono molti altri, che non disegniamo sia per chiarezza sia perché sarebbe
impossibile tracciarli proprio tutti!)
Figura 7
b. I vettori di fase
Lungo ogni cammino, il vettore di fase gira e compie un giro intero ogni tratto pari a
quindi i vettori di fase, con cui l'oggetto quantistico arriva in B, sono diversi per i diversi
cammini, come mostrato in Figura 8, perché i cammini hanno lunghezze diverse.
5
Figura 8
Attenzione: è lo stesso oggetto che ha contemporaneamente tutti i diversi vettori di fase
quando arriva in B, non sono 5 diversi oggetti quantistici! Questo è ovviamente difficile da
capire per la nostra mentalità classica, perché non riusciamo a immaginare come qualche
oggetto possa avere contemporaneamente delle caratteristiche diverse, ma è una delle
"regole del gioco" che va accettata: da essa infatti dipende la regola di "sovrapposizione"
che discuteremo più avanti.
c. Cammini obbligatori e cammini proibiti
Come fa l'oggetto quantistico a scegliere i cammini da percorrere? La regola è semplice:
deve percorrere tutti i cammini che non sono esplicitamente proibiti. Sono proibiti quei
cammini lungo i quali c'è un ostacolo impenetrabile. In Figura 9, ad esempio, mostriamo
degli ostacoli che non intercettano i cammini 1, 2, 4, 5, mentre intercettano il cammino 3: in
B, all'oggetto quantistico mancherà quindi il vettore di fase che corrispondeva a questo
cammino.
Figura 9
Attenzione: i cammini non esplicitamente proibiti dalla presenza di un ostacolo non solo
sono permessi, ma anzi sono obbligatori! Anche questa regola è difficile da capire per la
nostra mentalità classica, ma dovremo tenerne conto quando faremo i calcoli, perché
dovremo essere sicuri di includere tutti i cammini possibili
d. La probabilità quantistica
Se confrontiamo la figura 9 con le analoghe figure del caso classico (Figura 3), vediamo
subito che, in presenza di ostacoli, la situazione quantistica è molto diversa da quella
classica: infatti non potranno mai esserci dei casi semplici di ostacoli che non disturbano per
niente la traiettoria (come in Figura 3a) o che la distruggono totalmente (come in Figura 3b),
ma ci saranno sempre degli ostacoli che disturbano qualche cammino, ma non tutti, mentre
sarà difficile che un ostacolo sia completamente innocuo, perché intercetterà sicuramente
almeno qualche cammino. La situazione quantistica quindi non potrà essere una situazione
netta di "SI" o "NO" come quella dell'oggetto classico, che "arriva" o "non arriva" al
rivelatore posto in B a seconda della posizione degli ostacoli che possono bloccarlo, ma sarà
necessariamente sfumata. Avremo cioè solo una risposta probabilistica, nel senso che si
6
potrà solo calcolare la probabilità che il rivelatore segnali il passaggio dell'oggetto, cioè la
probabilità che ci sia un'interazione fra l'oggetto e il rivelatore posto nel punto B.
e. La sovrapposizione dei vettori di fase
Siamo così giunti alla regola finale, che ci permetterà di calcolare la probabilità quantistica
che il rivelatore segnali il passaggio dell'oggetto: la probabilità dipende dai diversi cammini
che l'oggetto può esplorare per arrivare in B. Ogni cammino dà infatti un contributo, che
dipende dal valore della sua fase nel punto B, e che può essere sia positivo che negativo:
questo è l'aspetto tipicamente quantistico ed è legato proprio al fatto che, come visto sopra,
l'oggetto ha un suo orologio interno, il quale gira mentre l'oggetto viaggia accumulando
diversi sfasamenti lungo i diversi cammini che hanno lunghezze diverse, e quindi arriva in B
con diversi vettori di fase. Poiché però l'oggetto è unico, la sua interazione con il rivelatore
non dipende da un particolare vettore di fase, ma dalla sovrapposizione di tutti i vettori
(principio di sovrapposizione): sommando tutti i vettori di fase, si ottiene un vettore
risultante il cui modulo al quadrato è proporzionale alla probabilità che l'oggetto
quantistico interagisca con il rivelatore posto in B (nel seguito chiameremo brevemente
"sovrapposizione" S il modulo a quadrato del vettore risultante). In figura 10 mostriamo,
come esempio, la sovrapposizione dei vettori di fase dei 5 cammini ipotizzati nel caso di
Figura 8:
Figura 10
Si vede chiaramente che i vettori 3 e 4 sono parzialmente in controfase rispetto ai vettori 1 e
5, per cui i contributi in parte cancellano e il vettore risultante r non ha il massimo valore
che potrebbe avere se tutti e 5 i vettori fossero completamente in fase fra di loro. Che
significato ha il valore della sovrapposizione S, cioè del modulo al quadrato del vettore r?
La regola ci dice che S è proporzionale alla probabilità, ma per calcolare la probabilità
occorrerebbe conoscere la costante di proporzionalità, cioè sommare tutti i possibili vettori
di fase. Ciò è ovviamente molto difficile, quel che faremo sarà invece di calcolare la
probabilità relativa, confrontando la sovrapposizione in situazioni diverse, ad esempio in
presenza di ostacoli diversi. In Figura 11 è mostrata ad esempio la sovrapposizione calcolata
con il foglio “Fey-l-tutorial.xls”, calcolata lasciando aperti tutti i cammini oppure
bloccandone alcuni:
Somme dei vettori di fase
8
6
dopo aver bloccato
alcuni cammini
Sv
4
2
0
iniziale
-2
Figura 11
-4
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Su
7
Come si vede, il vettore risultante è addirittura aumentato, perché abbiamo tolto dei vettori
di fase che contribuivano negativamente alla somma! L'aver messo un ostacolo che ha
bloccato uno dei cammini ha quindi variato la probabilità di rivelare l'oggetto quantistico in
B: la probabilità può diminuire, aumentare oppure rimanere circa costante a seconda della
larghezza della fenditura, della posizione degli ostacoli aggiuntivi, della quantità di moto
dell’oggetto, ecc.
Attenzione: il fatto che la risultante r sia variata, non significa che l'oggetto quantistico
verrà rivelato in modo diverso, ad esempio con una parte diversa della sua energia, come
saremmo portati a pensare per analogia con certe situazioni "classiche" . Per un oggetto
quantistico, un valore di S ridotto significa che è ridotta la probabilità che l'oggetto venga
rivelato, ma quando è rivelato, l'oggetto quantistico è rivelato interamente, con tutta le sue
caratteristiche, quali energia, quantità di moto, ecc. In questo senso, la risposta del rivelatore
è ancora di tipo SI o NO, ma, a differenza di quel che avviene classicamente, non è sempre
di tipo SI o sempre di tipo NO, a seconda della posizione dell'ostacolo, ma ha una certa
probabilità di essere di tipo SI e una certa probabilità di essere di tipo NO e questa
probabilità può essere calcolata dal valore della sovrapposizione S. Ad esempio se la
probabilità fosse del 25%, significherebbe che su 100 oggetti lanciati, solo per 25 ci sarebbe
una risposta di tipo SI, mentre per gli altri 75 la risposta sarebbe di tipo NO: per degli
oggetti classici, invece, la risposta sarebbe o di tipo SI per tutti e 100, oppure di tipo NO per
tutti e 100.
Nota a
La relazione (2) fu dedotta da de Broglie nel 1921, partendo dall'interpretazione che Bohr aveva
dato nel 1911 della quantizzazione dell'energia degli elettroni atomici, cioè del fatto che,
apparentemente, gli elettroni atomici hanno solo certe orbite stazionarie. De Broglie dedusse la sua
relazione in un "modello ondulatorio" dell'elettrone, cioè pensando all'elettrone come un'onda che si
propaga nello spazio, con una lunghezza d'onda " data dalla (2) e una frequenza f data dalla
relazione di Planck (1): in un'onda, infatti, la lunghezza d'onda è definita proprio come la distanza
fra due picchi, cioè come la distanza fra due punti in cui l'onda ha la stessa fase.
Seguendo l'approccio di Feynman, noi preferiamo non far riferimento esplicito a un modello
ondulatorio e quindi non parlare esplicitamente di lunghezza d'onda di de Broglie, ma definire "
secondo quello che è il suo significato fisico: distanza spaziale fra due punti in cui l'oggetto ha la
stessa fase.
Volendo invece attenersi al modello ondulatorio di de Broglie, va chiarito un aspetto relativo alla
"velocità dell'onda". In un'onda meccanica classica, infatti, la velocità dell'onda si calcola dal
rapporto fra lunghezza d'onda e periodo, quindi vale vf = " / T, dove il pedice f della velocità sta a
ricordare che si tratta della velocità con cui viaggia una certa fase dell'onda, ad esempio il picco
(uno dei modi di misurare vf è proprio di fissare l'attenzione sul picco dell'onda, fotografando la
distanza fra due picchi a un certo istante). Se facciamo lo stesso calcolo per l'onda che descrive
l'oggetto quantistico, ricavando " dalla (2) e T=1/f dalla (1), troviamo:
vf $
h 1 / 2mv 2 v
%
$
mv
h
2
quindi la "velocità di fase" vf è la metà della velocità effettiva (detta anche "velocità di gruppo")
dell'oggetto quantistico. Questa relazione tra velocità di fase e velocità di gruppo vale per valori
della velocità molto minori del valore della velocità della luce e deriva dal fatto che, per tali valori,
la velocità dipende dall'energia. Avvicinandosi alla velocità della luce, la velocità di fase diventa
sempre più prossima a quella di gruppo (fino a coincidere per il fotone, che, nel vuoto, viaggia
sempre alla velocità della luce, indipendentemente dalla sua energia!).
8
Punto 2: tutorial
Impostazione del calcolo
I primi calcoli sui molti cammini hanno lo scopo principale di acquistare famigliarità con questo
strano oggetto che ha una fase che varia nel tempo e percorre simultaneamente tutti i cammini che
non sono impediti da qualche ostacolo. Inizieremo da una situazione semplificata e imposteremo i
calcoli su un foglio elettronico per poter valutare rapidamente le fasi sui diversi cammini e variare i
diversi parametri. I parametri che entrano in gioco sono:
l'energia e la massa dell'oggetto quantistico,
le posizioni della sorgente e del rivelatore,
le posizioni degli ostacoli.
Il calcolo consisterà nel:
tracciare tutti i cammini possibili tra sorgente e rivelatore,
calcolare per ogni cammino il vettore di fase,
calcolare la sovrapposizione dei vettori.
La situazione semplificata che utilizzeremo è quella illustrata nella figura:
cammino permesso
P
A
B
Dtrasv
DA
DB
Figura 1
Ci sono solo due ostacoli che lasciano aperta una fenditura di ampiezza Dtrasv simmetrica rispetto
alla congiungete dei punti A e B in cui sono posti la sorgente e il rivelatore. I cammini esaminati
sono delle spezzate che vanno da A a un punto P posto sull'attraversamento della fenditura e di qui
al punto B [nota b].
I calcoli, sviluppati con il foglio EXCEL, consistono nei seguenti passi:
a) Scelta o calcolo dei parametri che sono gli stessi per tutti i cammini:
distanze DA e DB
larghezza della fenditura Dtrasv
velocità v dell'oggetto
massa m
quantità di moto p
lunghezza " di de Broglie, "=h/p
9
b) Calcolo del vettore di fase di ogni cammino. Occorre:
-
-
scegliere la coordinata yfi del punto di attraversamento alla posizione della
fenditura,
calcolare la lunghezza Li del percorso tra A e B,
calcolare i giri gi = Li /" fatti lungo il cammino dalla lancetta dell'immaginario
orologio interno,
gi non sarà in generale un numero intero, ciò che interessa non è la parte intera di
gi, che chiamiamo int(gi), ma la parte decimale dgi=gi-int(gi), cioè la frazione di
2# (o di 360o) dell'ultimo giro non completato, perché la fase !i si otterrà da
questa con la proporzione,
!i : dgi = 2# : 1
dal valore di !i, si calcolano le due componenti del vettore di fase unitario, Vui e
Vvi, necessarie per calcolare le componenti Su e Sv della somma vettoriale:
Vvi = sin (!i)
Vui = cos (!i)
c) Calcolo della somma dei vettori di fase di tutti i cammini:
-
calcolo delle componenti Su e Sv della somma vettoriale:
Sv = &i Vvi
Su = &i Vui
2
calcolo della sovrapposizione S = Su + Sv2
Per costruire tutti i cammini possibili occorre adottare un qualche criterio "ordinatore", in modo da
essere sicuri di non lasciarne indietro nessuno. Abbiamo quindi predisposto due fogli EXCEL che
permettono di fare questo tipo di calcolo propedeutico e sono ispirati a due criteri ordinatori diversi:
- si inizia con una fenditura stretta, per la quale passa un solo cammino e poi la si allarga
aggiungendo via via cammini ai bordi (foglio Fey-s-tutorial.xls)
- oppure si inizia con una fenditura larga e si analizzano ordinatamente i cammini a partire da uno
dei bordi (foglio Fey-l-tutorial.xls).
Fenditura stretta: foglio "Fey-s-tutorial.xls"
1) si parte da una fenditura stretta,
per la quale si fa passare un solo
cammino;
2)
si allarga gradualmente la
fenditura, in modo simmetrico,
aggiungendo ogni volta coppie
di cammini;
Somme dei vettori di fase
0
-1
-2
r
-3
-4
Sv
3) per ogni cammino si calcola il vettore di fase, lo
si somma ai vettori degli altri cammini,
ottenendo una spezzata, che, man mano che si
aggiungono vettori, assume una tipica forma a
"S" e poi diventa la "spirale di Cornu". Si calcola
infine la risultante r e la sovrapposizione S = r2
dei vettori di fase.
-5
-6
-7
-8
-9
-8
-6
-4
-2
0
Su
10
S cresce inizialmente, ma poi rallenta la crescita, anzi, per una certa larghezza
della fenditura, inizia a diminuire e poi oscilla, il tutto in un modo che dipende
dalla larghezza iniziale della fenditura, dalla velocità e dalla massa.
Fenditura larga: foglio "Fey-l-tutorial.xls"
cammini (n=21)
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
1) si parte da una fenditura inizialmente larga, per
la quale si fanno passare molti cammini (21),
0,00
-0,50
-1,00
-1,50
-2,00
(m)
-2,50
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
2) per ogni cammino (a iniziare da
quello che attraversa più in
basso la fenditura) si calcola il
vettore di fase,
somma dei vettori di fase
4
3) i vettori di fase vengono via via sommati ai precedenti,
formando la caratteristica spezzata, che, superato il
cammino centrale, assume la tipica forma a "S";
Somme dei vettori di fase
3
4
2
3
1
2
5
1
0
4
-2
-1
0
1
3
Sv
2
r
1
4) alla fine si calcola la risultante r e
la sovrapposizione S = r2 dei
vettori di fase.
0
-1
-2
-3
-5
0
5
Su
10
15
La forma della somma dei vettori di fase e il valore della sovrapposizione S dipendono
dalla larghezza della fenditura, dalla velocità e dalla massa dell'oggetto quantistico.
11
Nota b
Il cammino può essere reso complicato quanto si vuole, ma, concettualmente, ciò non aggiunge
nulla di nuovo alla fisica del problema. Inoltre, come risulta poi chiaro dal calcolo esplicito e come
intuibile in base al principio di corrispondenza, i cammini che contribuiscono di più sono quelli che
più si avvicinano alla linea retta. Se si volesse fare un calcolo per rendersene conto, si potrebbe
analizzare una situazione come quella della figura, in cui si inseriscono altri ostacoli, costringendo
tutti i cammini ad attraversare una ulteriore fenditura fra gli ostacoli: nella figura abbiamo
ipotizzato due cammini, per cui, per ognuno dei precedenti cammini, si deve sommare su due
possibili percorsi. La nuova fenditura andrebbe poi spostata, in modo da esplorare altri cammini:
concettualmente, gli algoritmi per i calcoli sono gli stessi, le somme diventano solo molto più
complesse!
3b
3a
2b
3a
3b
2b
2a
2a
A
1b
1a
B
1b
1a
Dtrasv
D'A
D''A
DB
Punto 3 Consigli per l’uso del “tutorial” sui cammini di Feynman
Provate a cambiare i parametri, uno per volta, e osservate che effetto ha il cambiamento. Vi
consiglio di cominciare dalla velocità, ma operate piccoli cambiamenti alla volta, ad esempio da
400 m/s a 600 m/s o a 200 m/s, mai cambiamenti di ordini di grandezza
Che cosa guardare
- anzitutto la “spirale di Cornu”, che vi dà subito l’idea dell’allineamento o meno fra i vettori di
fase: la spirale si arriccia se si va verso situazioni “classiche”, perché le fasi tra i vettori
cambiano rapidamente, invece si distende andando verso situazioni “quantistiche”, perché c’è
una buona correlazione di fase tra i cammini vicini;
- la “sovrapposizione”: è piccola se si va verso situazioni “classiche”, perché i vettori di fase
sono molto diversi anche per punti di passaggio vicini, mentre è grande per situazioni
“quantistiche”, perché i vettori di fase sono ben allineati;
- la differenza fra il numero di giri dei primi due vettori, che è un parametro cruciale per capire se
state usando correttamente il foglio: di norma non dovrebbe superare 0,4 giri, perché questo
corrisponde già a un angolo di circa 160° fra due vettori vicini, il che rende la spirale di Cornu
molto spigolosa e poco accurata.
12
Nelle figure ad esempio vedete i cambiamenti nel passare da 400 m/s a 1500 m/s:
400 m/s
sovrapposizione: 110
differenza di giri fra i primi due vettori: 0,10
1500 m/s
sovrapposizione: 33
differenza di giri fra i primi due vettori: 0,39
Somme dei v ettori di fase
Som me dei v ettori di fase
3
4
3
3
2
2
Sv
Sv
2
1
0
1
1
-1
0
-2
-1
-1
-3
-5
0
5
Su
10
15
-2
0
2
Su
4
6
8
A 400 m/s la situazione è decisamente “quantistica”:
- la spirale è bella, con appena un accenno di ricciolo all’estremo, il che indica che anche i vettori
che passano lontano dal centro sono ancora allineati fra di loro;
- ci sono circa 10 vettori di fase che passano al centro della fenditura che sono ben allineati fra di
loro;
- la sovrapposizione è alta;
- la differenza di fase tra i vettori al bordo è piccola (0,1 giro), indice che la correlazione si
mantiene vicino ai bordi.
A 1500 m/s la situazione sta evolvendo verso la configurazione “classica”:
- la spirale si avvolge su se stessa agli estremi, il che indica che anche i vettori che passano
lontano dal centro sono poco allineati fra di loro (il fatto che sia anche spigolosa è un difetto del
calcolo, perché 21 cammini sono chiaramente insufficienti per integrare bene il moto a questa
velocità);
- ci sono pochi vettori di fase ben allineati fra di loro (circa 3, quelli che passano al centro della
fenditura);
- la sovrapposizione è bassa;
- la differenza di fase tra i vettori al bordo è grande (0,39 giri), indice che la correlazione viene
meno vicino ai bordi.
Potete provare a cambiare anche la massa, ma anche qui non dovete cambiare di ordini di
grandezza, altrimenti non rimanete più nei limiti di validità del calcolo.
Ci sono altri fogli che permettono di operare cambiamenti su scale maggiori (ad esempio
“sovrapposizione” che trovate anche sul sito http://www.iapht.unito.it/qm/): ne esamineremo alcuni
nella sezione C.
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