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4-Spazi L^p. Convergenza forte e debole

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4-Spazi L^p. Convergenza forte e debole
Analisi Reale
Anno Accademico 2014-2015
Roberto Monti
Versione del 6 Novembre 2014
1
Contents
Chapter 1. Introduzione alla teoria della misura
1. Misure esterne e misure su σ-algebre. Criterio di Carathéodory
2. Misura di Lebesgue e misure di Hausdorff in Rn
3. Teoremi di continuità per successioni monotone di insiemi misurabili
5
5
8
9
Chapter 2. Teoria dell’integrale
1. Funzioni misurabili
2. Convergenza quasi ovunque. Teorema di Egorov
3. Integrale di Lebesgue
4. Assoluta continuità dell’integrale
5. Teorema della convergenza monotona e Lemma di Fatou
6. Convergenza dominata e Teorema di Lebesgue-Vitali
7. Derivata sotto il segno di integrale
8. Integrale di Riemann e integrale di Lebesgue
11
11
14
15
17
18
20
23
24
Chapter 3. Spazi di funzioni integrabili
1. Spazi Lp . Disuguaglianze di Hölder e Minkowski
2. Inclusioni fra spazi Lp
3. Teorema di Completezza
4. Convergenza forte, debole, in misura e q.o.
27
27
29
30
32
3
CHAPTER 1
Introduzione alla teoria della misura
1. Misure esterne e misure su σ-algebre. Criterio di Carathéodory
In questa sezione introduciamo le definizioni di misura esterna, di σ-algebra, e
di misura su una σ-algebra. Per Criterio di Carathéodory, a partire da una misura
esterna si può produrre una σ-algebra, detta “degli insiemi misurabili”. La misura
esterna ristretta a tale σ-algebra è una misura.
Nel seguito X è un insieme e P(X) è l’insieme delle parti di X.
Definizione 1.1 (Misura esterna). Una funzione µ : P(X) → [0, ∞] è una
misura esterna se:
i) µ(∅) = 0;
ii) se A ⊂ B allora µ(A) ≤ µ(B) (proprietà di monotonia);
iii) per ogni successione di insiemi (Ak )k∈N in X vale la subadditività numerabile
∞
∞
[
X
(1.1)
µ
Ak ≤
µ(Ak ).
k=1
k=1
Una σ-algebra è una famiglia di insiemi chiusa per complemento, intersezioni ed
unioni numerabili. Più precisamente:
Definizione 1.2 (σ–algebra). Un insieme A ⊂ P(X) è una σ–algebra dell’insieme
X se:
i) ∅, X ∈ A ;
ii) se A ∈ A allora A0 = X \ A ∈ A ;S
iii) se Ak ∈ A per ogni k ∈ N, allora ∞
k=1 Ak ∈ A .
Osservazione 1.3. Chiaramente, se Ak ∈ A per ogni k ∈ N allora si ha A0k ∈ A
e quindi dalla iii) segue che
∞
∞
\
0 [
Ak =
A0k ∈ A .
k=1
k=1
T∞
Di conseguenza, dalla ii) si deduce che k=1 Ak ∈ A .
Analogamente, se A, B ∈ A allora A \ B = A ∩ B 0 ∈ A .
Definizione 1.4 (Misura e spazio di misura). Sia A una σ–algebra su un insieme
X. Una funzione µ : A → [0, ∞] è una misura (positiva) se:
i) µ(∅) = 0;
ii) se Ak ∈ A , k ∈ N, è una successione di insiemi mutualmente disgiunti, allora
vale l’additività numerabile
∞
∞
[
X
(1.2)
µ
Ak =
µ(Ak ).
k=1
k=1
5
6
1. INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA MISURA
La terna (X, A , µ) si dice allora spazio di misura.
Esempio 1.5 (Misura di Dirac). Sia X un insieme e fissiamo un punto x0 ∈ X.
La funzione δ : P(X) → [0, ∞]
δ(A) =
1 se x0 ∈ A,
0 se x0 ∈ X \ A,
è una misura sulla σ-algebra P(X), detta delta di Dirac concentrata in x0 .
Esempio 1.6 (Counting measure). Sia X un insieme e definiamo la funzione χ :
P(X) → [0, ∞]
χ(A) =
#A = Card(A) se Card(A) < ∞,
∞
se la cardinalità di A non è finita.
La funzione χ è una misura su X detta counting measure.
Torniamo alle misure esterne, e definiamo la nozione di insieme misurabile.
Definizione 1.7 (Insieme misurabile). Sia X un insieme e sia µ una misura
esterna su X. Un insieme A ⊂ X si dice µ−misurabile se per ogni E ⊂ X vale la
proprietà di spezzamento
(1.3)
µ(E) = µ(E ∩ A) + µ(E ∩ A0 ).
Indicheremo con M (X, µ) o più semplicemente con M la famiglia degli insiemi misurabili di X rispetto alla misura esterna µ.
Osservazione 1.8. La disuguaglianza µ(E) ≤ µ(E ∩ A) + µ(E ∩ A0 ) è sempre
verifica, per la subadditività della misura esterna.
La costruzione di Carathèodory ci assicura che M è una σ-algebra su X.
Teorema 1.9 (Criterio di Carathéodory). Sia µ una misura esterna su un insieme
X. La famiglia M degli insiemi µ–misurabili è una σ–algebra ed inoltre la restrizione
µ : M → [0, ∞] è una misura. Inoltre, questa misura è completa nel senso che
µ(A) = 0 implica A ∈ M .
Dim. È immediato vedere che ∅ ∈ M . Inoltre, dalla simmetria della definizione
di insieme misurabile segue che A ∈ M se e solo se A0 ∈ M .
Proviamo che se Ak ∈ M per ogni k ∈ N allora si ha anche
A=
∞
[
k=1
Ak ∈ M .
1. MISURE ESTERNE E MISURE SU σ-ALGEBRE. CRITERIO DI CARATHÉODORY
7
Per induzione, usando la definizione (1.3) di insieme misurabile si trova, per ogni
k ∈ N,
µ(E) = µ(E ∩ A1 ) + µ(E ∩ A01 )
= µ(E ∩ A1 ) + µ(E ∩ A01 ∩ A2 ) + µ(E ∩ A01 ∩ A02 )
= µ(E ∩ A1 ) + µ(E ∩ A01 ∩ A2 ) + µ(E ∩ A01 ∩ A02 ∩ A3 )
+ µ(E ∩ A01 ∩ A02 ∩ A03 )
= ...
k
i−1
k
[
0 X
[ =
µ E ∩ Ai \
Aj + µ E ∩
Ai .
i=1
j=1
i=1
Dalla proprietà di monotonia della misura esterna segue che
∞
k
[
0 [
0 µ E∩
Ai
≤µ E∩
Ai ,
i=1
i=1
e quindi per ogni k ∈ N vale la disuguaglianza
k
i−1
∞
[
0 X
[ µ(E) ≥
µ E ∩ Ai \
Aj + µ E ∩
Ai .
i=1
j=1
i=1
Passando al limite per k → ∞ e poi usando la subadditività numerabile della misura
esterna si ottiene:
∞
i−1
∞
[
0 X
[ µ(E) ≥
µ E ∩ Ai \
Aj + µ E ∩
Ai
i=1
j=1
∞
[
∞
[
≥µ E∩
Ai \
i=1
≥µ E∩
i−1
[
i=1
Aj
+µ E∩
j=1
Ai
∞
[
Ai
0 i=1
+µ E∩
i=1
∞
[
Ai
0 ≥ µ(E).
i=1
Null’ultima disuguaglianza abbiamo usato di nuovo la subadditività della misura esterna. Si conclude che le disuguaglianze precedenti sono tutte uguaglianze, e quindi
µ(E) = µ(E ∩ A) + µ(E ∩ A0 ),
per ogni E, ovvero A ∈ M . Abbiamo in effetti trovato l’identità più ricca di informazioni:
∞
i−1
∞
[
0 X
[ (1.4)
µ(E) =
µ E ∩ Ai \
Aj + µ E ∩
Ai .
i=1
j=1
i=1
S∞
Mostriamo che µ è σ−additiva su M . Sia A = i=1 Ai con unione disgiunta, e
nell’uguaglianza (1.4) scegliamo E = A. Usando il fatto che µ(∅) = 0 si ottiene
∞
∞
[
X
µ
Ai =
µ(Ai ).
i=1
i=1
8
1. INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA MISURA
Rimane da verificare che µ è completa. Se µ(A) = 0, allora dalla subadditività e
dalla monotonia della misura esterna si trova
µ(E) ≤ µ(E ∩ A) + µ(E ∩ A0 ) ≤ µ(A) + µ(E) = µ(E),
e dunque si hanno uguaglianze e pertanto A ∈ M . Questo termina la dimostrazione
del teorema.
2. Misura di Lebesgue e misure di Hausdorff in Rn
2.1. Misura di Lebesgue. Introduciamo la misura di Lebesgue L n in Rn , n ≥
1, e la σ-algebra degli insiemi L n -misurabili in Rn .
Un pluri–intervallo (o plurirettangolo) I ⊂ Rn è un insieme del tipo
I = [a1 , b1 ) × . . . × [an , bn ),
con ai < bi per i = 1, . . . , n.
La misura di un pluri–intervallo I è definita in modo naturale
n
Y
mis(I) =
(bi − ai ).
i=1
Un ricoprimento Lebesguiano di un insieme A ⊂ Rn è una successione di pluri–
intervalli (Ik )k∈N di Rn tale che
[
A⊂
Ik .
k∈N
Definiamo la misura esterna di Lebesgue L n : P(Rn ) → [0, ∞] ponendo per ogni
A ⊂ Rn
∞
nX
o
L n (A) = inf
mis(Ik ) : (Ik )k∈N ricoprimento Lebesguiano di A .
k=1
Verifichiamo che la funzione di insiemi L n : P(Rn ) → [0, ∞] è una misura
esterna. Certamente L n (∅) = 0 e L n (A) ≤ L n (B) se A ⊂ B, dal momento che
tutti i ricoprimenti Lebesguiani di B sono anche ricoprimenti di A.
Proviamo la subadditività numerabile (1.1). Sia (Ak )k∈N una successione di insiemi
di Rn . Se il membro di destra in (1.1) non è finito, ovvero
∞
X
L n (Ak ) = ∞,
k=1
allora non c’è nulla da provare. Possiamo allora supporre che la serie converga e quindi
L n (Ak ) < ∞ per ogni k ∈ N. Fissato ε > 0, per ogni k ∈ N esiste un ricoprimento
Lebesguiano {Iik : i ∈ N} di Ak tale che
∞
X
mis(Iik ) ≤ L n (Ak ) + ε/2k .
i=1
k
La
S∞ famiglia di pluri-intervalli {Ii : i, k ∈ N} è un ricoprimento Lebesguiano di
k=1 Ak , e dunque
∞
∞ X
∞
∞ ∞
[
X
X
X
ε
n
k
n
L
Ak ≤
mis(Ii ) ≤
L (Ak ) + k = ε +
L n (Ak ).
2
k=1
k=1 i=1
k=1
k=1
3. TEOREMI DI CONTINUITÀ PER SUCCESSIONI MONOTONE DI INSIEMI MISURABILI
9
Dall’arbitrarietà di ε > 0 si ottiene la tesi.
Per il Criterio di Carathéodory, gli insiemi L n -misurabili formano una σ-algebra
M su cui L n è una misura completa: la misura di Lebesgue. Un insieme A ∈ M si
dice Lebesgue misurabile.
2.2. Misure di Hausdorff. Sia n ≥ 1 un intero e sia s ≥ 0 un parametro
dimensionale reale. Definiamo la costante
ωs =
dove
Z
π s/2
,
Γ(s/2 + 1)
∞
Γ(s) =
e−x xs−1 dx,
s > 0,
0
è la funzione Γ di Eulero. Il significato di questa costante è che per s = k ∈ N si ha
ωk = L k ({x ∈ Rk : |x| < 1}),
la misura di Lebesgue della palla unitaria k-dimensionale. Ricordiamo che il diametro
di un insieme E ⊂ Rn è per definizione
diam(E) = sup |x − y|.
x,y∈E
Per ogni δ > 0, definiamo la “premisura” di Hausdorff s-dimensionale in Rn , la
funzione Hδs : P(Rn ) → [0, ∞], ponendo per ogni A ⊂ Rn
n X diam(E ) s
[ o
k
Hδs (A) = inf ωs
: Ek ⊂ Rn , diam(Ek ) ≤ δ, A ⊂
Ek .
2
k∈N
k∈N
Definiamo quindi la misura di Hausdorff s-dimensionale H s : P(Rn ) → [0, ∞],
ponendo
H s (A) = sup Hδs (A) = lim+ Hδs (A).
δ→0
δ>0
La funzione H è una misura esterna su R . La dimostrazine di questo fatto è
del tutto analoga a quella fatta per la misura di Lebesgue e viene omessa. Per ogni
s ≥ 0, gli insiemi H s -misurabili formano una σ-algebra su cui H s è una misura, la
misura di Hausdorff s-dimensionale in Rn .
s
n
3. Teoremi di continuità per successioni monotone di insiemi misurabili
Una successione(Ak )k∈N di sottoinsiemi di X si dice monotona crescente se Ak ⊂
Ak+1 per ogni k ∈ N. Si dice monotona decrescente se Ak+1 ⊂ Ak per ogni k ∈ N.
Teorema 3.1. Sia µ una misura esterna sull’insieme X e sia (Ak )k∈N una successione di insiemi µ-misurabili di X. Allora:
∞
[
(i) Se la successione è crescente si ha lim µ(Ak ) = µ
Ak .
k→∞
k=1
(ii) Se la successione è decrescente e µ(A1 ) < ∞ si ha lim µ(Ak ) = µ
k→∞
∞
\
k=1
Ak .
10
1. INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA MISURA
Dim. (i) Usiamo la proprietà di additività numerabile della misura per gli insiemi
misurabili:
∞
∞
k−1
∞
k−1
[
[
[ X
[ µ
Ak = µ
Ak \
Aj =
µ Ak \
Aj
k=1
j=1
k=1
= lim
m→∞
m
X
µ Ak \
Aj = lim µ
j=1
k=1
= lim µ
m→∞
m
[
j=1
k=1
k−1
[
m→∞
m
[
Ak \
k=1
k−1
[
Aj
j=1
Ak = lim µ(Am ).
m→∞
k=1
S
Abbimo usato il fatto che la successione è crescente per dire che m
k=1 Ak = Am .
(ii) Consideriamo la successione Bk = A1 \ Ak , k ∈ N, che è crescente, e dunque
∞
∞
∞
[
[
\
lim µ(A1 \ Ak ) = lim µ(Bk ) = µ
Bk = µ
A1 \ Ak = µ A1 \
Ak .
k→∞
k→∞
k=1
k=1
k=1
Siccome µ(A1 ) < ∞ si ha µ(Ak ) < ∞ per ogni k ∈ N e quindi l’identità
µ(A1 ) = µ((A1 \ Ak ) ∪ Ak ) = µ(A1 \ Ak ) + µ(Ak )
implica che µ(A1 \ Ak ) = µ(A1 ) − µ(Ak ) e la tesi (ii) segue.
CHAPTER 2
Teoria dell’integrale
1. Funzioni misurabili
In tutta questa sezione X è un insieme e µ è una misura esterna su X. Diremo
misurabili gli insiemi di X che sono µ-misurabili.
Definizione 1.2 (Funzioni misurabili). Una funzione f : X → R si dice misurabile se per ogni insieme aperto A ⊂ R l’antimmagine f −1 (A) ⊂ X è un insieme
misurabile di X.
Osservazione 1.3. Una funzione f : X → [−∞, ∞] si dirà misurabile se gli
insiemi f −1 ({−∞}) ed f −1 ({∞}) sono misurabili ed è verificata la condizione della
definizione precedente.
Proposizione 1.4. Sia f : X → R una funzione. Sono equivalenti le seguenti
affermazioni.
1) f −1 (] − ∞, α[) è misurabile per ogni α ∈ R.
2) f −1 (] − ∞, α]) è misurabile per ogni α ∈ R.
3) f −1 (]α, ∞[) è misurabile per ogni α ∈ R.
4) f −1 ([α, ∞[) è misurabile per ogni α ∈ R.
5) f −1 (]α, β[) è misurabile per ogni α, β ∈ R.
6) f −1 (A) è misurabile per ogni insieme aperto A ⊂ R.
Dim. La prova è elementare e viene omessa. La dimostrazione che 1) implica 2)
è la seguente:
∞ n
\
1o
−1
x ∈ X : f (x) < α +
f (] − ∞, α]) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} =
,
k
k=1
e l’insieme a destra è misurabile in quanto intersezione numerabile di misurabili. Proposizione 1.5. Siano f, g : X → R funzioni misurabili. Allora anche le
funzioni f + g, f g, f /g con g 6= 0 su X, max{f, g}, min{f, g} e |f | sono misurabili.
Dim. Proviamo che la somma f + g è misurabile. Infatti, dato α ∈ R l’insieme
{x ∈ X : f (x) + g(x) < α} coincide con l’insieme
x ∈ X : esistono s, t ∈ Q tali che f (x) < s, g(x) < t e s + t < α
ovvero si ha
(f + g)−1 (] − ∞, α[) =
[
f −1 (] − ∞, s[) ∩ g −1 (] − ∞, t[),
s,t∈Q
s+t<α
e l’insieme a destra è misurabile in quanto unione numerabile di misurabili.
11
12
2. TEORIA DELL’INTEGRALE
√
√
Poi osserviamo che, dato α ≥ 0, si ha {f 2 > α} = {f > α} ∪ {f < − α} e
quindi f 2 è misurabile. Dunque, anche il prodotto di funzioni f g = 21 ((f +g)2 −f 2 −g 2 )
è misurabile. Lasciamo al lettore il compito di verificare la misurabilità di 1/g.
Le funzioni f + = f χ{f ≥0} ed f − = −f χ{f ≤0} sono misurabili in quanto prodotto
di funzioni misurabili. Quindi è misurabile anche la funzione |f | = f + + f − .
Nella dimostrazione precedente abbiamo usato la notazione χA = 1A per la funzione caratteristica di un insieme.
Definizione 1.6. La funzione caratteristica di un insieme A ⊂ X è la funzione
χA : X → R definita nel seguente modo:
1 se x ∈ A,
χA (x) =
0 se x ∈ X \ A.
La funzione χA è misurabile se e solo se A è misurabile.
Proposizione 1.7. Siano fk : X → [−∞, ∞], k ∈ N, funzioni misurabili. Allora
anche le funzioni
inf fk , sup fk , lim inf fk , lim sup fk
k∈N
k→∞
k∈N
k→∞
sono misurabili. In particolare, il limite puntuale di funzioni misurabili, se esiste, è
una funzione misurabile.
Dim. Proviamo che la funzione g = inf fk è misurabile. Infatti, per ogni α ∈ R si
k∈N
ha
{x ∈ X : g(x) < α} =
[
{x ∈ X : fk (x) < α}
k∈N
S
e quindi g −1 (] − ∞, α[) = k∈N fk−1 (] − ∞, α[) è un insieme misurabile.
In modo analogo, detta h = sup fk , per ogni α ∈ R si ha
k∈N
{x ∈ X : h(x) > α} =
[
{x ∈ X : fk (x) > α}
k∈N
S
e quindi h−1 (]α, ∞[) = k∈N fk−1 (]α, ∞[) è un insieme misurabile.
Infine, anche le funzioni
lim inf fk (x) = sup inf f (x),
k→∞
sono misurabili.
k∈N n≥k
lim sup fk (x) = inf sup f (x)
k→∞
k∈N n≥k
Ora proviamo che le funzioni misurabili non negative si possono approssimare con
funzioni di struttura speciale.
Teorema 1.8. Sia f : X → [0, ∞] una funzione misurabile non negativa. Esiste
una successione di insiemi misurabili (Ak )k∈N tali che
∞
X
1
f (x) =
χA (x), per ogni x ∈ X.
k k
k=1
Inoltre, se f è limitata esiste una scelta di insiemi tale che la serie converge uniformemente.
1. FUNZIONI MISURABILI
13
Dim. Definiamo l’insieme A1 = {x ∈ X : f (x) ≥ 1}, che è misurabile. Poi
definiamo l’insieme A2 = {x ∈ X : f (x) − χA1 (x) ≥ 21 }, che è misurabile. Osserviamo
che
1
f (x) ≥ χA1 (x)
e di più
f (x) ≥ χA1 (x) + χA2 (x)
2
per ogni x ∈ X.
Per induzione, per ogni k ∈ N possiamo definire l’insieme misurabile
k−1
n
X
1o
1
χAj (x) ≥
.
Ak = x ∈ X : f (x) −
j
k
j=1
Sempre per induzione, si prova che per ogni x ∈ X e per ogni k ∈ N si ha
f (x) ≥
k
X
1
j=1
j
χAj (x),
e dunque per k → ∞ si ottiene
f (x) ≥
(1.5)
∞
X
1
k=1
k
χAk (x),
per ogni x ∈ X.
Proviamo che in (1.5)
l’uguaglianza.
P∞ 1 Infatti, se f (x) = ∞ allora x ∈ Ak per
P∞ vale
1
ogni k ∈ N e dunque k=1 k χAk (x) = k=1 k = ∞. Se, invece, 0 ≤ f (x) < ∞ allora
x∈
/ Ak per infiniti k (altrimenti la serie diverge), e dunque, dalla definizione di Ak
segue che
k−1
1 X1
χA (x),
f (x) < +
k j=1 j j
per infiniti k e passando al limite per k → ∞ si ottiene la tesi.
Ora supponiamo che risulti f (x) ≤ M < ∞ per ogni x ∈ X. Fissato ε > 0, siano
k1 , k2 ∈ N tali che
k2
X
1
1
<ε e
> M.
k1
j
j=k
1
Dalla disuguaglianza
k2
X
1
χAk (x) ≤ f (x) ≤ M,
k
k=k
1
segue che per ogni x ∈ X esiste k̄ ∈ N con k1 ≤ k̄ ≤ k2 tale che x ∈
/ Ak̄ , ovvero
f (x) −
k̄−1
X
1
j=1
j
χAj (x) <
1
1
≤
< ε.
k1
k̄
Per la monotonia puntuale delle somme troncate, la disuguaglianza
f (x) −
k−1
X
1
j=1
j
χAj (x) < ε,
14
2. TEORIA DELL’INTEGRALE
vale allora per tutti i k ≥ k2 . Il numero k2 è stato scelto indipendentemente da x.
Questo prova la convergenza uniforme.
2. Convergenza quasi ovunque. Teorema di Egorov
Sia µ una misura esterna su un insieme X. Diciamo che una successione di funzioni
fn : X → R, n ∈ N, converge quasi ovunque (q.o.) ad una funzione f : X → R se
esiste un insieme N ⊂ X di misura nulla, µ(N ) = 0, tale che per ogni x ∈ X \ N si
ha
lim fn (x) = f (x).
n→∞
Il Teorema di Egorov mostra che la convergenza quasi ovunque di funzioni misurabili
implica la convergenza uniforme su un insieme di misura grande.
Teorema 2.9 (Egorov). Sia (X, A , µ) uno spazio di misura finito, µ(X) < ∞, e
siano f, fn : X → R, n ∈ N, funzioni misurabili tali che lim fn (x) = f (x) per quasi
n→∞
ogni x ∈ X. Per ogni ε > 0 esiste un insieme Xε ⊂ X tale che µ(X \ Xε ) < ε e
lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.
n→∞ x∈Xε
Dim. A meno di togliere da X un insieme di misura nulla, non è restrittivo supporre che fn (x) → f (x), quando n → ∞, per ogni x ∈ X. Per ogni n, k ∈ N definiamo
gli insiemi
\n
1o
x ∈ X : |fj (x) − f (x)| <
Sn,k =
.
k
j≥n
S
Ogni insieme Sn,k è misurabile, si ha la monotonia Sn,k ⊂ Sn+1,k , e inoltre ∞
n=1 Sn,k =
X per ogni k ∈ N. Infatti, fissato x ∈ X, in virtù della convergenza puntuale esiste
n ∈ N tale che |fj (x) − f (x)| < k1 per ogni j ≥ n, ovvero x ∈ Sn,k .
Per la continuità della misura per successioni monotone, si ha
lim µ(Sn,k ) = µ(X),
n→∞
ed essendo la misura µ finita, si deduce che per ogni k ∈ N fissato
lim µ(X \ Sn,k ) = 0.
n→∞
Pertanto, per ogni k ∈ N esiste nk ∈ N tale che
µ(X \ Snk ,k ) <
dove ε > 0. Definiamo l’insieme Xε =
∞
\
ε
,
2k
Snk ,k . La misura del complementare si
k=1
stima nel seguente modo:
∞
∞
∞
[
X
X
ε
X \ Snk ,k ≤
µ(X \ Snk ,k ) ≤
= ε.
µ(X \ Xε ) = µ
2k
k=1
k=1
k=1
Chiaramente, per ogni k ∈ N si ha Xε ⊂ Snk ,k e dunque per ogni n ≥ nk si ha
1
sup |fn (x) − f (x)| < .
k
x∈Xε
3. INTEGRALE DI LEBESGUE
Questa è la convergenza uniforme su Xε .
15
3. Integrale di Lebesgue
Sia (X, A , µ) uno spazio di misura. In questa sezione definiamo l’integrale di
Lebesgue di funzioni misurabili. Partiamo dalle funzioni semplici, poi definiamo
l’integrale di funzioni non negative e solo alla fine definiamo l’integrale di funzioni
con segno.
Definizione 3.10 (Funzione semplice). Una funzione misurabile ϕ : X → R si
dice funzione semplice se l’insieme ϕ(X) ⊂ R ha cardinalità finita.
Data una funzione semplice ϕ, esistono un numero finito di insiemi misurabili
A1 , . . . , An ⊂ X e delle costanti c1 , . . . , cn ∈ R, n ∈ N, tali che
n
[
X=
Ai , con unione disgiunta,
i=1
ed inoltre
(3.6)
ϕ(x) =
n
X
ci χAi (x),
x ∈ X.
i=1
Se richiediamo che i valori c1 , . . . , cn siano distinti (e che gli insiemi A1 , . . . , An siano
disgiunti), allora la rappresentazione è unica.
Definizione 3.11 (Integrale di una funzione semplice). L’integrale di una funzione semplice non negativa ϕ : X → [0, ∞) è per definizione
Z
n
X
ϕ(x)dµ =
ci µ(Ai ) ∈ [0, ∞].
X
i=1
Convenzione. In questa definizione, conveniamo che ci µ(Ai ) = 0 quando ci = 0
e µ(Ai ) = ∞.
Sappiamo che una funzione misurabile f : X → [0, ∞] ha la rappresentazione
∞
X
1
f (x) =
χA (x), x ∈ X.
k k
k=1
Qui, gli insiemi Ak sono misurabili ma non disgiunti. Tuttavia, le troncate della serie,
ovvero le funzioni
n
X
1
ϕn (x) =
χAk (x), n ∈ N,
k
k=1
assumono un numero finito di valori e dunque sono funzioni semplici. Dal Teorema
1.8 deduciamo il seguente fatto:
Corollario 3.12. Data una funzione misurabile f : X → [0, ∞] esiste una
successione crescente di funzioni semplici (ϕn )n∈N tale che
lim ϕn (x) = f (x),
n→∞
x ∈ X.
Inoltre, la convergenza si può assumere uniforme se f è limitata.
16
2. TEORIA DELL’INTEGRALE
Definizione 3.13 (Integrale di una funzione misurabile non negativa). Definiamo
l’integrale di una funzione misurabile non negativa f : X → [0, ∞] come
Z
nZ
o
f (x)dµ = sup
ϕ(x)dµ : ϕ f.s. tale che 0 ≤ ϕ ≤ f su X ∈ [0, ∞].
X
X
Se l’integrale è finito diremo che la funzione f è integrabile su X.
Definiamo ora l’integrale per le funzioni con segno. Data una funzione f : X →
[−∞, ∞], definiamo la sua parte positiva e la sua parte negativa
f − (x) = − min{f (x), 0},
f + (x) = max{f (x), 0},
di modo che f (x) = f + (x) − f − (x) ed |f (x)| = f + (x) + f − (x).
Definizione 3.14. Diciamo che una funzione misurabile f : X → [−∞, ∞] è
sommabile se la funzione |f | è integrabile. In questo case scriviamo f ∈ L1 (X) =
L1 (X, A , µ) e definiamo l’integrale di f su X in dµ
Z
Z
Z
+
f − (x)dµ.
f (x)dµ −
f (x)dµ =
X
X
X
Non c’è una convenzione universale sul significato dei termini “integrabile” e
“sommabile”. Noi li useremo come sinonimi. Un limite dell’integrale di Lebesgue
è che, nel caso di indeterminazioni ∞ − ∞, non rileva eventuali cancellazioni fra le
“aree positive” e le “aree negative” nel sottografico della funzione integranda f , come
invece riesce a fare l’integrale improprio di Riemann.
Nel seguente teorema elenchiamo le proprietà standard dell’integrale di Lebesgue.
La dimostrazione è omessa.
Teorema 3.15. Sia (X, A , µ) uno spazio di misura.
i) Se f, g ∈ L1 (X) allora per ogni α, β ∈ R si ha αf + βg ∈ L1 (X) ed inoltre
Z
Z
Z
(αf (x) + βg(x))dµ = α
f (x)dµ + β
f (x)dµ.
X
X
X
Questa è la proprietà di linearità dell’integrale.
ii) Se f, g : X → [0, ∞] sono funzioni misurabili (oppure f, g ∈ L1 (X)) tali che
f (x) ≤ g(x) per µ-q.o. x ∈ X, allora
Z
Z
f (x)dµ ≤
g(x)dµ.
X
X
Questa è la proprietà di monotonia dell’integrale.
iii) Per ogni f ∈ L1 (X) si ha la proprietà di subadditività
Z
Z
f (x)dµ ≤
|f (x)|dµ.
X
X
1
iv) Se A ⊂ X è misurabile ed f ∈ L (X), allora f ∈ L1 (A) e si ha
Z
Z
f (x)dµ =
f (x)χA (x) dµ.
A
X
4. ASSOLUTA CONTINUITÀ DELL’INTEGRALE
17
Osservazione 3.16. Anticipando il Teorema di Fubini-Tonelli sullo scambio dell’ordine di integrazione, possiamo dare la seguente interpretazione dell’integrale di
Lebesgue. Sia f ∈ L1 (X) una funzione non negativa, allora
Z Z f (x)
Z
dt dµ(x)
f (x)dx =
X
X 0
Z Z ∞
χ(0,f (x)) (t)dt dµ(x) [Fubini-Tonelli, ad es. con µ(X) < ∞]
=
X 0
Z ∞Z
=
χ(0,f (x)) (t)dt dµ(x)
Z0 ∞ ZX
=
χ{f >t} (x)dµ(x) dt
Z0 ∞ X
=
µ({x ∈ X : f (x) > t}) dt.
0
La funzione ϕf (t) = µ({x ∈ X : f (x) > t}) si dice funzione di ripartizione o funzione
di distribuzione di f . Siccome ϕf è monotona decrescente, l’ultimo integrale è definito
anche come integrale di Riemann.
Ad esempio per una funzione f : [0, 1] → R della forma
f (x) = c1 χA1 (x) + c2 χA2 (x) + c3 χA3 (x),
con la misura di Lebesgue su [0, 1] la situazione è la seguente:
4. Assoluta continuità dell’integrale
Vedremo nel seguito del corso le definizioni di funzione assolutamente continua e di
misura assolutamente continua. Qui verifichiamo l’assoluta continuità dell’integrale
rispetto alla sua misura di riferimento.
18
2. TEORIA DELL’INTEGRALE
Teorema 4.17 (Assoluta continuità dell’integrale). Sia (X, A , µ) uno spazio di
misura e sia f ∈ L1 (X) una funzione sommabile. Per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale
che per ogni insieme misurabile A ⊂ X vale l’implicazione
Z
µ(A) < δ ⇒ f (x) dµ ≤ ε.
A
Dim. A meno di sostituire f con |f |, non è restrittivo supporre f ≥ 0. Siccome
f ∈ L1 (X), il suo integrale è finito, e quindi, per la definizione di integrale, per ogni
ε > 0 esiste una funzione semplice ϕ : X → R tale che
Z
Z
n
X
ε
0 ≤ ϕ ≤ f, ϕ =
ci χ A i ,
f (x)dµ −
ϕ(x)dµ ≤ ,
2
X
X
i=1
dove n ≥ 1, Ai ⊂ X sono insiemi misurabili e ci ≥ 0 sono costanti tali che µ(Ai ) = ∞
implica ci = 0.
Se f non è identicamente nulla, è possibile supporre che anche ϕ non sia nulla
identicamente (q.o.). L’integrale di ϕ su un insieme misurabile A ⊂ X è
Z
n
n
X
X
ϕ(x)dµ =
ci µ(A ∩ Ai ) ≤ µ(A)
ci .
A
i=1
i=1
Dunque, con la scelta
δ=
2
ε
n
X
ci
i=1
si ha
A
X
A
ϕ(x)dµ ≤
(f (x) − ϕ(x))dµ +
f (x)dµ ≤
0≤
Z
Z
Z
ε ε
+ =ε
2 2
non appena µ(A) < δ.
5. Teorema della convergenza monotona e Lemma di Fatou
Il Teorema della convergenza monotona, noto anche come Teorema di Beppo Levi,
permette di passare con il limite dentro il segno di integrale quando la successione di
funzioni integrate è puntualmente crescente. La dimostrazione si basa sulla continuità
della misura per successioni crescenti di insiemi.
Teorema 5.18 (Beppo Levi). Sia (X, A , µ) uno spazio di misura, e sia (fn )n∈N
una successione crescente di funzioni misurabili positive, 0 ≤ fn (x) ≤ fn+1 (x) per
ogni n ∈ N e per q.o. x ∈ X. Detta f (x) = lim fn (x) la funzione limite, si ha
n→∞
Z
Z
lim
fn (x)dµ =
f (x)dµ.
n→∞
X
X
Dim. La funzione limite f è misurabile in quanto limite q.o. di funzioni misurabili.
Siccome fn ≤ fn+1 ≤ f , per la monotonia dell’integrale si ha
Z
Z
Z
0≤
fn (x)dµ ≤
fn+1 (x)dµ ≤
f (x) dµ.
X
X
X
5. TEOREMA DELLA CONVERGENZA MONOTONA E LEMMA DI FATOU
19
Dunque, il seguente limite esiste e si ha
Z
Z
L = lim
fn (x)dµ ≤
f (x)dµ.
n→∞
X
X
Verifichiamo la disuguaglianza opposta. Se mostriamo che ogni funzione semplice
0 ≤ ϕ ≤ f verifica
Z
ϕ(x) dµ ≤ L,
X
P
allora la tesi segue. La funzione semplice ϕ è della forma ϕ(x) = ki=1 ci χAi (x) dove
ci ≥ 0 e Ai ⊂ X sono insiemi misurabili. Fissato δ ∈ (0, 1), per ogni n ∈ N definiamo
gli insiemi
En = {x ∈ X : δϕ(x) ≤ fn (x)}.
Dalla monotonia fn ≤ fn+1 segue che En ⊂ En+1 , e inoltre dalla convergenza puntuale
segue che
∞
[
X=
En .
n=1
Infatti, se x ∈ X ed f (x) > 0 allora si ha fn (x) → f (x) > δϕ(x), e dunque fn (x) ≥
δϕ(x) per tutti gli n sufficientemente grandi.
Integrando la disuguaglianza δϕ(x)χEn (x) ≤ fn (x) per x ∈ X, e passando al limite
per n → ∞ si ottiene
Z
Z
fn (x)dµ = L.
lim
δϕ(x)χEn (x)dµ ≤ lim
n→∞
n→∞
X
X
L’integrale al membro di sinistra è
Z
k
X
δϕ(x)χEn (x)dµ =
δci µ(Ai ∩ En ).
X
i=1
Per la continuità della misura sulle successioni crescenti di insiemi si ha
∞
∞
[
[
En = µ(Ai ),
lim µ(Ai ∩ En ) = µ
Ai ∩ En = µ Ai ∩
n→∞
n=1
n=1
e dunque
Z
lim
n→∞
δϕ(x)χEn (x)dµ = δ
X
k
X
Z
ci µ(Ai ) = δ
ϕ(x) dµ.
X
i=1
Per δ → 1− nella disuguaglianza
Z
ϕ(x)dµ ≤ L
δ
X
si ottiene la tesi.
Dal teorema della convergenza monotona segue il Lemma di Fatou.
Teorema 5.19 (Lemma di Fatou). Sia (X, A , µ) uno spazo di misura e sia fn :
X → [−∞, ∞], n ∈ N, una successione di funzioni misurabili non negative, fn ≥ 0.
Allora
Z
Z
lim inf fn (x)dµ ≤ lim inf
fn (x)dµ.
X
n→∞
n→∞
X
20
2. TEORIA DELL’INTEGRALE
Dim. Per ogni n ∈ N definiamo la funzione misurabile gn : X → [0, ∞]
x ∈ X.
gn (x) = inf fk (x),
k≥n
La successione (gn )n∈N è crescente. Dal Teorema di Beppo Levi segue che
Z
Z
lim
gn (x)dµ =
lim gn (x)dµ.
n→∞
X n→∞
X
Dal momento che gn ≤ fn , si ha
Z
Z
Z
lim inf
fn (x)dµ ≥ lim
gn (x)dµ =
n→∞
n→∞
X
Z
lim gn (x)dµ =
X n→∞
X
lim inf fn (x)dµ.
X
n→∞
Questa è la tesi.
6. Convergenza dominata e Teorema di Lebesgue-Vitali
Il teorema della convergenza dominata è uno degli strumenti più flessibili per
passare al limite sotto il segno di integrale.
Teorema 6.20 (Convergenza dominata). Sia (X, A , µ) uno spazio di misura e
sia (fn )n∈N una successione di funzioni misurabili tali che il limite
f (x) = lim fn (x)
n→∞
esista per µ-q.o. x ∈ X.
Se esiste una funzione g ∈ L1 (X), detta maggiorante, tale che |fn (x)| ≤ g(x) per
µ-q.o. x ∈ X, per ogni n ∈ N, allora f ∈ L1 (X) e si ha
Z
lim
|fn (x) − f (x)| dµ = 0.
n→∞
X
In particolare, questo implica che
Z
Z
f (x) dµ.
fn (x) dµ =
lim
n→∞
X
X
Dim. Le funzioni gn : X → [0, ∞],
gn (x) = 2g(x) − |fn (x) − f (x)|,
x ∈ X,
sono misurabili e positive, gn ≥ 0, in quanto |fn | ≤ g ed |f | ≤ g. Usando la convergenza puntuale fn (x) → f (x) per q.o. x ∈ X quando n → ∞, per il Lemma di Fatou
si ha
Z
Z
2
g(x) dµ =
lim inf gn (x)dµ
X
X n→∞
Z
Z
Z
≤ lim inf
gn (x)dµ = 2
g(x) dµ + lim inf −
|fn (x) − f (x)|dµ,
n→∞
X
X
n→∞
X
che è equivalente a
Z
|fn (x) − f (x)|dµ ≤ 0,
lim sup
n→∞
X
che a sua volta è equivalente al fatto che il limite è zero.
6. CONVERGENZA DOMINATA E TEOREMA DI LEBESGUE-VITALI
21
Il teorema della convergenza dominata non descrive in modo preciso (con un se
e solo se) quando la convergenza puntuale implica quella in L1 (X). Tale caratterizzazione è data dal Teorema di Lebesgue-Vitali e la nozione chiave è quella di uniforme
integrabilità.
Definizione 6.21. Sia (X, A , µ) uno spazio di misura. Una famiglia di funzioni
F ⊂ L1 (X) si dice uniformemente integrabile se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che
Z
µ(A) < δ ⇒ sup
|f (x)|dµ < ε
f ∈F
A
per ogni insieme A ⊂ X misurabile.
Teorema 6.22 (Lebesgue-Vitali). Sia (X, A , µ) uno spazio di misura e sia fn ∈
L (X), n ∈ N una successione di funzioni tale che fn (x) → f (x) per µ-q.o. x ∈ X.
Sono equivalenti le seguenti affermazioni:
Z
1
(A) f ∈ L (X) e lim
|fn (x) − f (x)|dµ = 0;
1
n→∞
X
(B) Valgono le due affermazioni:
(i) La successione (fn )n∈N è uniformemente integrabile.
(ii) Per ogni ε > 0 esiste Xε ⊂ X tale che µ(Xε ) < ∞ e
Z
sup
|fn (x)|dµ ≤ ε.
n∈N
X\Xε
Dim. A) ⇒ B). Proviamo la (i). Dato ε > 0, per ipotesi esiste n̄ ∈ N tale che
Z
|fn (x) − f (x)|dµ ≤ ε, per ogni n > n̄.
X
Per l’assolutà continuità dell’integrale esistono δ0 , δk > 0, k = 1, . . . , n̄, tali che
Z
Z
|fk (x)|dµ ≤ ε.
|f (x)|dµ ≤ ε, µ(A) ≤ δk ⇒
µ(A) ≤ δ0 ⇒
A
A
Scegliamo δ = min{δ0 , δ1 , . . . , δn̄ }. Ora, per n > n̄ si ha
Z
Z
Z
|fn (x)|dµ ≤
|fn (x) − f (x)|dµ +
|f (x)|dµ ≤ 2ε
A
A
A
non appena µ(A) ≤ δ. Con questo la (i) è provata.
Passiamo alla (ii). Fissato ε > 0, per t > 0 consideriamo l’insieme A0,t = {x ∈
X : |f (x)| ≥ t}. Allora
Z
Z
1
µ(A0,t ) =
dµ ≤
|f (x)|dµ < ∞,
t X
A0,t
e inoltre, essendo |f | ∈ L1 (X), dal teorema della convergenza monotona deriva che
Z
lim
|f (x)|dµ = 0,
t→0
X\A0,t
e quindi esiste t0 > 0 tale che
Z
|f (x)|dµ ≤ ε.
X\A0,t0
22
2. TEORIA DELL’INTEGRALE
Per ipotesi esiste n̄ ∈ N tale che
Z
|fn (x) − f (x)|dµ ≤ ε, per ogni n > n̄.
X
Per k = 1, . . . , n̄ si considerano gli insiemi Ak,t = {x ∈ X : |fk (x)| ≥ t}. Per
l’argomento precedente questi insiemi hanno misura finita e inoltre esistono tk > 0
tali che
Z
|fk (x)|dµ ≤ ε, k = 1, . . . , n̄.
X\Ak,tk
S
A questo punto si definisce Xε = n̄k=0 Ak,tk . Risulta µ(Xε ) < ∞ e inoltre
Z
Z
|fk (x)|dµ ≤ ε, k = 1, . . . , n̄.
|fk (x)|dµ ≤
X\Xε
X\Ak,tk
D’altra parte, per n > n̄ si ha
Z
Z
Z
|fn (x)|dµ ≤
|fn (x) − f (x)|dµ +
X\Xε
X
|f (x)|dµ ≤ 2ε.
X\Xε
Con questo anche la (ii) è provata.
B) ⇒ A). Mostriamo preliminarmente che (i) e (ii) valgono anche per la funzione
f . Ad esempio, usando il Lemma di Fatou
Z
Z
Z
|f (x)|dµ =
lim inf |fn (x)|dµ ≤ lim inf
|fn (x)|dµ ≤ ε.
X\Xε
n→∞
X\Xε
n→∞
X\Xε
Analogamente si prova l’estensione della (ii).
Sia ε > 0 fissato. Esiste Xε ⊂ X tale che µ(Xε ) < ∞ e
Z
sup
|fn (x) − f (x)|dµ ≤ ε.
n∈N
X\Xε
Inoltre esiste δ > 0 tale che, se µ(A) < δ allora
Z
sup |fn (x) − f (x)|dµ ≤ ε.
n∈N
A
Per il teorema di Egorov esiste un insieme Yε ⊂ Xε tale che µ(Xε \ Yε ) < δ ed fn → f
uniformemente su Yε . Ora si può scomporre l’integrale da stimare in questo modo
Z
Z
Z
Z
|fn (x)−f (x)|dµ =
|fn (x)−f (x)|dµ+
|fn (x)−f (x)|dµ+
|fn (x)−f (x)|dµ.
X
Xε \Yε
X\Xε
Yε
Grazie alla convergenza uniforme esiste n̄ ∈ N tale che per n > n̄ si ha
Z
|fn (x) − f (x)|dµ ≤ ε.
Yε
Per la scelta di Yε , per l’ipotesi (i) si ha
Z
|fn (x) − f (x)|dµ ≤ ε
Xε \Yε
uniformemente per n ∈ N. In conclusione si ottiene
Z
|fn (x) − f (x)|dµ ≤ 3ε, per ogni n > n̄.
X
7. DERIVATA SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE
Segue immediatamente che f ∈ L1 (X). Il teorema è cosı̀ interamente provato.
23
Esempio 6.23. Sia X = (0, 1) con la misura di Lebesgue. La successione di
funzioni fn : (0, 1) → R, n ∈ N,
n se 0 < x < 1/n,
fn (x) =
0 se 1/n ≤ x < 1,
converge a 0 in ogni punto x ∈ (0, 1) ed inoltre
Z
|fn (x)|dx = 1
[0,1]
per ogni n ∈ N. La successione (fn )n∈N , tuttavia, non è uniformemente integrabile.
Esempio 6.24. Sia X = R con la misura di Lebesgue. La successione di funzioni
fn : R → R, n ∈ N,
fn (x) = χ[n,n+1] (x), x ∈ R,
è uniformemente integrabile ed fn (x) → 0 per ogni x ∈ R. Tuttavia non verifica la
condizione (ii) nel Teorema di Lebesgue-Vitali.
Esercizio 6.1. Derivare il Teorema della convergenza dominata dal Teorema di
Lebesgue-Vitali.
7. Derivata sotto il segno di integrale
Usiamo il teorema della convergenza dominata per provare un teorema di derivazione
sotto segno di integrale.
Teorema 7.25. Sia (X, A , µ) uno spazio di misura e sia f : X × R → [−∞, ∞]
una funzione con queste proprietà:
i) Per ogni t ∈ R la funzione x 7→ f (x, t) è integrabile.
ii) Per quasi ogni x ∈ X la funzione t 7→ f (x, t) è derivabile.
iii) Fissato t0 ∈ R esistono δ > 0 e g ∈ L1 (X) tali che
∂f (x, t) ≤ g(x)
∂t
per ogni t ∈ (t0 − δ, t0 + δ) e per q.o. x ∈ X.
Allora la funzione F : R → R
Z
F (t) =
f (x, t)dµ
X
è derivabile nel punto t0 e risulta
0
Z
F (t0 ) =
X
∂f (x, t0 )
dµ.
∂t
Dim. Osserviamo preliminarmente che per il punto iii) si ha
∂f (x, t0 )
∈ L1 (X).
∂t
La misurabilità della funzione segue dal fatto di essere limite di funzioni misurabili (i
rapporti incrementali).
24
2. TEORIA DELL’INTEGRALE
Per la caratterizzazione sequenziale del limite è sufficiente verificare che per ogni
successione (tn )n∈N convergente a t0 si può portare il limite del rapporto incrementale
dentro l’integrale:
Z
F (tn ) − F (t0 )
f (x, tn ) − f (x, t0 )
(7.7)
lim
=
lim
dµ.
n→∞
tn − t0
tn − t0
X n→∞
Per il Teorema di Lagrange, per ogni n ∈ N tale che tn ∈ (t0 − δ, t0 + δ) e per
µ-q.o. x ∈ X esiste τn (x) ∈ (t0 , tn ) tale che
gn (x) =
f (x, tn ) − f (x, t0 )
∂f (x, τn (x))
=
,
tn − t0
∂t
e di conseguenza |gn (x)| ≤ g(x) per ogni n ∈ N sufficientemente grande e per µq.o. x ∈ X. Siamo dunque nelle ipotesi del Teorema della convergenza dominata, che
giustifica il passaggio al limite (7.7).
8. Integrale di Riemann e integrale di Lebesgue
In questa sezione proviamo che una funzione è Riemann-integrabile precisamente
quando l’insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura di Lebesgue nulla. Poi
proviamo che tutte le funzioni Riemann-integrabili sono Lebesgue integrabili e che i
due integrali coincidono.
Ricordiamo che l’oscillazione di una funzione f : [0, 1] → R su un insieme I ⊂ [0, 1]
è definita nel seguente modo
ω(f, I) = sup{f (x) − f (y) : x, y ∈ I}.
Poi, l’oscillazione locale di f nel punto x ∈ [0, 1] è
ω(f, x) = lim+ ω(f, Iδ (x)) = inf ω(f, Iδ (x)),
δ→0
δ>0
dove Iδ (x) = {y ∈ [0, 1] : |x − y| < δ}.
Osserviamo che per ogni t > 0 l’insieme Et = {x ∈ [0, 1] : ω(f, x) < t} è aperto
relativamente a [0, 1], ovvero il complementare è chiuso, ovvero la funzione x 7→
ω(f, x) è superiormente semicontinua. Infatti, se x ∈ Et allora esiste δ > 0 tale che
ω(f, Iδ (x)) < t e quindi per ogni y ∈ Iδ (x) esiste un δ 0 > 0 tale che Iδ0 (y) ⊂ Iδ (x) e
dunque
ω(f, y) ≤ ω(f, Iδ0 (y)) ≤ ω(f, Iδ (x)) < t.
La funzione f è continua nel punto x ∈ [0, 1] se e solo se ω(f, x) = 0, e l’insieme
D(f ) = {x ∈ [0, 1] : ω(f, x) > 0}
è l’insieme dei punti di discontinuità di f .
Lemma 8.26. Sia f : [0, 1] → R una funzione limitata. Supponiamo che per
ogni x ∈ [0, 1] risulti ω(f, x) < ε. Allora esiste δ > 0 tale che ω(f, I) < ε per ogni
intervallo I ⊂ [0, 1] con L 1 (I) < δ.
Dim. Per ogni x ∈ [0, 1] esiste δx > 0 tale che ω(f, Iδx (x)) < ε. La famiglia di
intorni {Iδx /2 (x) : x ∈ [0, 1]} è un ricoprimento aperto di [0, 1] dal quale è possibile
estrarre un sottoricoprimento finito {Iδi /2 (xi ) : i = 1, . . . , n}, dove δi = δxi . Scegliendo
8. INTEGRALE DI RIEMANN E INTEGRALE DI LEBESGUE
25
δ = min{δi /2 : i = 1, . . . , n}, allora per ogni x ∈ [0, 1] esiste i tale che Iδ (x) ⊂ Iδi (xi ),
e pertanto
ω(f, Iδ (x)) ≤ ω(f, Iδi (xi )) < ε.
Teorema 8.27. Una funzione limitata f : [0, 1] → R è Riemann-integrabile se e
solo se L 1 (D(f )) = 0.
Dim. Proviamo che se L 1 (D(f )) > 0 allora f non è Riemann-integrabile. Siccome
[
∞ ∞
[
1
D(f ) = {x ∈ [0, 1] : ω(f, x) > 0} =
=
x ∈ [0, 1] : ω(f, x) ≥
Dk ,
k
k=1
k=1
esiste k ∈ N tale che L 1 (Dk ) > 0.
Sia σ una suddivisione di [0, 1] e indentifichiamo σ con la famiglia degli intervalli
associati σ = {I}. Indichiamo con S(f, σ) e s(f, σ) le somme inferiori e superiori di
f relative a σ. Allora avremo
X
X
S(f, σ) − s(f, σ) =
ω(f, I)L 1 (Ii ) ≥
ω(f, I)L 1 (I)
I∈σ
≥
1
k
int(I)∩Dk 6=∅
X
L 1 (I) ≥
int(I)∩Dk 6=∅
1 1
L (Dk ).
k
Infatti si ha
X
L 1 (Dk ) ≤
L 1 (I)
int(I)∩Dk 6=∅
e inoltre ω(f, I) ≥ ω(f, x) ≥ 1/k per qualche x ∈ int(I) ∩ Dk . Questo prova la non
integrabilità di f .
Proviamo che se L 1 (D(f )) = 0 allora f è Riemann-integrabile. Mostreremo che
per ogni ε > 0 esiste unaSsuddivisione σ di [0, 1] tale che S(f, σ) − s(f, σ) ≤ ε. Come
1
1
sopra, avremo D(f ) = ∞
k=1 Dk , e siccome L (D(f )) = 0 risulta L (Dk ) = 0 per
ogni k ∈ N.
Per ogni k ∈ N, esiste una famiglia al più numerabile
F1 = {I} di intervalli
S
(aperti o, equivalentemente, chiusi) tali che Dk ⊂ I∈F1 I e
X
L 1 (I) ≤ ε.
I∈F1
L’insieme Dk è un sottoinsieme chiuso di [0, 1] e quindi è compatto. Dunque, possiamo
supporre che la famiglia F1 sia finita. Avremo allora
[
[
[0, 1] \
int(I) =
I
I∈F1
I∈F2
per una famiglia finita F2 di intervalli chiusi disgiunti.
Poichè
ω(f, x) < 1/k per
S
S
ogni x ∈ I, I ∈ F2 , dal Lemma 8.26 segue che I∈F2 I = I∈F3 I per una famiglia
finita F3 di intervalli chiusi essenzialmente disgiunti tali che ω(f, I) < 1/k per ogni
I ∈ F3 . Due intervalli I e J sono essenzialmente disgiunti se L 1 (I ∩ J) = 0, cioè se
si intersecano al più in un punto.
26
2. TEORIA DELL’INTEGRALE
Sia σ la suddivisione di [0, 1] univocamente determinata dalla famiglia di intervalli
F1 ∪ F3 . Allora, detto M = sup[0,1] |f |, si trova
X
X
X
ω(f, I)L 1 (I) =
ω(f, I)L 1 (I) +
ω(f, I)L 1 (I)
I∈σ
I∈F1
≤ 2M
I∈F3
X
I∈F1
1
L 1 (I) + ≤ (2M + 1)ε,
k
non appena k > 1/ε.
Teorema 8.28. Sia f : [0, 1] → R una funzione limitata Riemann-integrabile.
Allora f è integrabile secondo Lebesgue e gli integrali coincidono.
Dim. Mostriamo che f è una funzione misurabile. Sia t ∈ R e proviamo che
l’insieme Et = {x ∈ [0, 1] : f (x) < t} è misurabile. Sia D(f ) = {x ∈ [0, 1] : ω(f, x) >
0} l’insieme dei punti di discontinuità di f . Per il Teorema 8.27 risulta L 1 (D(f )) = 0.
Per un esercizio visto in classe segue che f è misurabile.
Sappiamo che se f è Riemann-integrabile, allora anche le parti positiva e negativa f + (x) = max{f (x), 0} e f − (x) = max{−f (x), 0}, x ∈ [0, 1], sono Riemannintegrabili. Quindi non è restrittivo supporre f ≥ 0. Indichiamo con S(f ) l’insieme
delle funzioni semplici minoranti di f ed indichiamo con S([0, 1]) l’insieme delle suddivisioni di [0, 1]. Allora avremo
Z 1
Z
Z
X
1
f (x) dx = sup
L (I) inf f ≤ sup
ϕ(x) dx =
f (x) dx.
I
σ∈S([0,1]) I∈σ
0
ϕ∈S(f )
[0,1]
[0,1]
Infatti,
ad ogni suddivisione σ = {I} di [0, 1] corrisponde la funzione semplice ϕ(x) =
P
I∈σ (inf I f )χI (x) ∈ S(f ).
Proviamo la disuguaglianza opposta. Sia σ una suddivisione di [0, 1] e sia ϕ ∈ S(f )
una funzione semplice che minora la funzione f , 0 ≤ ϕ ≤ f su [0, 1]. Avremo
n
X
ϕ(x) =
ci χAi (x), x ∈ [0, 1],
i=1
S
dove ci ≥ 0, gli insiemi Ai sono misurabili e ni=1 Ai = [0, 1] con unione disgiunta.
Allora
Z
Z
n
n
n
X
X
XZ
XZ X
ϕ(x)dx =
ci
χAi (x)dx =
χAi (x)dx =
ci
ci χAi (x)dx
[0,1]
i=1
≤
X
I∈σ
[0,1]
i=1
I∈σ
I
I∈σ
I i=1
L 1 (I) sup f (x).
x∈I
Dall’arbitrarietà di ϕ ∈ S(f ) nell’insieme delle funzioni semplici minoranti e di σ
nell’insieme delle suddivisioni di [0, 1] segue che
Z
Z 1
f (x)dx ≤
f (x)dx.
[0,1]
0
CHAPTER 3
Spazi di funzioni integrabili
1. Spazi Lp . Disuguaglianze di Hölder e Minkowski
Sia (X, A , µ) uno spazio di misura e indichiamo con M (X) lo spazio vettoriale
(reale) delle funzioni f : X → [−∞, ∞] che sono µ-misurabili.
Per 1 ≤ p < ∞, si definisce l’insieme di funzioni
Z
n
o
p
(1.8)
L (X) = f ∈ M (X) :
|f (x)|p dµ < ∞ .
X
Vedremo che si tratta di uno spazio vettoriale reale. È ben definita la funzione
k · kp : X → [0, ∞)
p1
Z
p
|f (x)| dµ .
(1.9)
kf kp =
X
Quando p = 2 questa seminorma nasce da un prodotto scalare. Date f, g ∈ L2 si
definisce
Z
hf, giL2 (X) =
f (x)g(x) dµ.
X
Vedremo fra breve che l’integrale converge.
Estendiamo la definizione al caso p = ∞. L’estremo superiore essenziale di una
funzione f ∈ M (X) è
kf k∞ = inf M ≥ 0 : |f (x)| ≤ M per µ-q.o. x ∈ X .
Se l’insieme di cui si prende l’estremo inferiore è vuoto, si pone kf k∞ = ∞. Possiamo
dunque definire l’insieme delle funzioni essenzialmente limitate
(1.10)
L∞ (X) = f ∈ M (X) : kf k∞ < ∞ .
Diciamo che due esponenti 1 ≤ p, q ≤ ∞ sono Hölder-coniugati se si ha
1 1
+ = 1,
p q
dove usiamo la convenzione 1/∞ = 0. L’esponente p = 2 coincide col suo coniugato.
Proposizione 1.29 (Disuguaglianza di Hölder). Siano 1 ≤ p, q ≤ ∞ esponenti
di Hölder coniugati. Se f ∈ Lp (X) e g ∈ Lq (X) allora f g ∈ L1 (X) e
Z
(1.11)
|f (x)g(x)| dµ ≤ kf kp kgkq .
X
Inoltre, nel caso 1 < p, q < ∞, se si ha uguaglianza allora esiste λ > 0 tale che
|g(x)| = λ|f (x)|p−1 per µ-q.o. x ∈ X.
27
28
3. SPAZI DI FUNZIONI INTEGRABILI
Dim. Il caso limite p = 1 e q = ∞ è chiaro, perchè
Z
Z
|f (x)g(x)|dµ ≤ kgk∞
|f (x)| dµ.
X
X
Se c’è uguaglianza dovra essere |g(x)| = kgk∞ per q.o. x ∈ {|f | > 0}.
p
Passiamo al caso 1 < p < ∞ e quindi q = p−1
. Ricordiamo la disuguaglianza di
Young. Se x, y ≥ 0 sono numeri reali, allora
(1.12)
xy ≤
xp y q
+ .
p
q
1
Dividendo per y q 6= 0, e ponendo t = x/y p−1 ≥ 0 si ottiene la disuguaglianza equivalente
tp
1
t ≤ + 1 − , t ≥ 0,
p
p
la cui validità può essere verificata facilmente con uno studio di funzione. Si ha
uguaglianza se e solo se t = 1, e quindi in (1.12) si ha uguaglianza se e solo se
y = xp−1 .
Passando alla disuguaglianza di Hölder, usando la disuguaglianza di Young puntualmente dentro l’integrale si trova
Z
Z |f |p
|f | |g|
|g|q dµ ≤
+
dµ
p
qkgkqq
X kf kp kgkq
X pkf kp
Z
Z
1 1
1 1
p
|f | dµ +
|g|q dµ
=
p kf kpp X
q kgkqq X
1 1
= + = 1,
p q
e quindi si ottiene la (1.11). Se si ha uguaglianza in (1.11), allora deve esserci
uguaglianza q.o. nella disuguaglianza dentro l’integrale. Quindi deve essere
|g|
|f |p−1
=
,
kgkq
kf kp−1
p
µ-q.o. su X.
Questo termina la dimostrazione. Abbiamo usato l’ipotesi f ∈ Lp (X) e g ∈ Lq (X)
per poter dividere per le norme di f e g all’inizio dell’argomento.
Proposizione 1.30 (Disuguaglianza di Minkowski). Per ogni 1 ≤ p ≤ ∞ e per
ogni f, g ∈ Lp (X) si ha
(1.13)
kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .
Dim. Il caso p = ∞ è elementare e la verifica è lasciata come esercizio.
Ricordiamo innanzi tutto che per ogni 1 ≤ p < ∞ esiste una costante Cp > 0 tale
che per ogni coppia di numeri reali x, y ≥ 0 si ha
(1.14)
(x + y)p ≤ Cp (xp + y p ).
Da tale disuguaglianza segue che f + g ∈ Lp (X).
2. INCLUSIONI FRA SPAZI Lp
29
Sia ora 1 < q ≤ ∞ l’esponende di Hölder coniugato di p. Usando la disuguaglianza
di Hölder si trova
Z
Z
p
p
|f + g| dµ =
|f + g|p−1 |f + g|dµ
kf + gkp =
X
ZX
Z
p−1
≤
|f + g| |f |dµ +
|f + g|p−1 |g|dµ
X
X
≤ k|f + g|p−1 kq (kf kp + kgkp ).
Ora dividiamo a destra e a sinistra per k|f + g|p−1 kq = kf + gkpp−1 . Lo possiamo fare
perchè questa quantità è finita e possiamo anche supporla diversa da zero. Se fosse
kf + gkp = 0 non ci sarebbe infatti nulla da dimostrare. Ma kf + gkpp k|f + g|p−1 k−1
q =
kf + gkp e la tesi segue.
Esempio 1.31. Sia X = [0, 1] con la misura di Lebesgue e siano 1 ≤ p < ∞ e
0 < α < p1 . Sia {qi ∈ Q ∩ [0, 1] : i ∈ N} = Q ∩ [0, 1] una enumerazione dei razionali e
definiamo la funzione f : [0, 1] → [0, ∞]
f (x) =
∞
X
i=1
2i |x
1
,
− qi |α
x ∈ [0, 1].
La funzione f è misurabile ed assume il valore ∞ almeno su tutto Q ∩ [0, 1]. Per la
disuguaglianza di Minkowski e per il teorema della convergenza monotona, si ha
n
X
p 1/p
Z
1/p
Z
1
p
|f (x)| dx
= lim
dx
i
α
n→∞
[0,1]
[0,1] i=1 2 |x − qi |
∞ Z
1/p
X
1
dx
≤
ip
αp
[0,1] 2 |x − qi |
i=1
Z
∞
1/p
X
1
1
≤
dx
2i [−1,1] |x|αp
i=1
2 1/p
≤
< ∞.
1 − αp
Dunque si ha f ∈ Lp ([0, 1]) ed in particolare la serie che definisce la funzione f
converge ad un valore finito per q.o. x ∈ [0, 1].
2. Inclusioni fra spazi Lp
In questa sezione esaminiamo alcune relazioni di inclusione fra spazi Lp (X).
1. Supponiamo che X sia di misura finita, µ(X) < ∞, e siano 1 ≤ p < q ≤ ∞.
Allora Lq (X) ⊂ Lp (X). Se, infatti, f ∈ Lq (X), allora
Z
1
(q/p)
Z
1
p
0
(q/p)
|f | dµ ≤ µ(X)
|f |q dµ
< ∞,
X
X
0
dove (q/p) indica l’esponente di Hölder coniugato di q/p.
2. Se una funzione sta in due diversi spazi di Lebesgue, sta anche in tutti quelli
intermedi. Siano 1 ≤ p < q < ∞, e supponiamo che f ∈ Lp (X) ∩ Lq (X), allora
30
3. SPAZI DI FUNZIONI INTEGRABILI
f ∈ Lr (X) per ogni p < r < q. Infatti, si ha r = tp + (1 − t)q per un certo t ∈ (0, 1),
e dalla disuguaglianza di Hölder segue che
Z
Z
t Z
1−t
r
p
q
|f | dµ ≤
|f | dµ
|f | dµ
< ∞.
X
X
X
3. Se una funzione sta in tutti gli spazi Lp (sufficientemente elevati) con norma
uniformemente limitata, allora sta anche in L∞ . Precisamente, supponiamo che f ∈
Lp (X) con kf kp ≤ M < ∞ per ogni 1 ≤ p < ∞. Allora kf k∞ ≤ M .
Dim. Fissiamo ε > 0 e proviamo che l’insieme
A = {x ∈ X : |f (x)| ≥ M + ε}
ha misura nulla. Infatti
Z
µ(A) =
dµ ≤
A
1
(M + ε)p
Z
X
|f (x)|p dµ ≤
M p
→0
M +ε
per p → ∞. Poichè ε > 0 è arbitrario segue che kf k∞ ≤ M .
Esempio 2.32. Sia X = [0, 1] con la misura di Lebsgue e si consideri la funzione
f (x) = | log x|, x ∈ [0, 1]. Per ogni 1 ≤ p < ∞ esiste una costante Cp > 0 tale che
√
x| log x|p ≤ Cp , x ∈ (0, 1].
√
Siccome 1/ x ∈ L1 ([0, 1]) segue che f ∈ Lp ([0, 1]) per ogni p ≥ 1. Tuttavia f ∈
/
L∞ ([0, 1]).
3. Teorema di Completezza
Dalla disuguaglianza di Minkowski segue che Lp (X) è chiuso per somma di funzioni, e dunque è uno spazio vettoriale. Per ogni 1 ≤ p ≤ ∞, la semininorma
k · kp : Lp (X) → [0, ∞) verifica le seguenti proprietà:
i) kf kp ≥ 0 per ogni f ∈ Lp (X) ed kf kp = 0 implica che f = 0 µ-q.o.;
ii) kλf kp = |λ|kf kp per ogni λ ∈ R e per ogni f ∈ Lp (X);
iii) kf + gkp ≤ kf kp + kgkp per ogni f, g ∈ Lp (X).
Per avere uno spazio normato (invece che solo seminormato) occorre identificare le
funzioni che sono uguali quasi ovunque. Sia ∼ la relazione di equivalenza su Lp (X)
f ∼g
⇔
µ({x ∈ X : f (x) 6= g(x)}) = 0.
Indichiamo con L p (X) = Lp (X)/ ∼ il quoziente munito della norma k · kp , che non
dipende dai rappresentanti delle classi di equivalenza. Ora (L p (X), k · kp ) è uno
spazio normato.
Teorema 3.33 (Completezza). Sia (X, A , µ) uno spazio di misura. Per ogni
1 ≤ p ≤ ∞, L p (X) è uno spazio di Banach. In particolare, L 2 (X) è uno spazio di
Hilbert.
Dim. Abbiamo già osservato che L p (X) é uno spazio vettoriale normato. Dobbiamo provare che è uno spazio metrico completo per la distanza indotta dalla norma.
Vediamo la prova nel caso 1 ≤ p < ∞. Scegliamo a nostro piacere rappresentanti
nelle classi di equivalenza. Sia fn ∈ Lp (X), n ∈ N, una successione di Cauchy. Esiste
3. TEOREMA DI COMPLETEZZA
31
una sottosuccessione (fni )i∈N tale che kfni+1 − fni kp ≤ 21i per ogni i ∈ N. La funzione
g : X → [−∞, ∞]
∞
X
g(x) =
|fni+1 (x) − fni (x)|, x ∈ X,
i=1
è misurabile ed è finita in µ-q.o. punto x ∈ X. Infatti, per la disuguaglianza di
Minkowski generalizzata al caso di somme numerabili si ha
∞
∞
X
X
1
kgkp ≤
kfni+1 − fni kp ≤
≤ 1.
2i
i=1
i=1
Dunque, è definita per µ-q.o. punto x ∈ X anche la funzione f : X → R
∞
X
f (x) = fn1 (x) +
(fni+1 (x) − fni (x)) = lim fni (x), per q.o. x ∈ X.
i→∞
i=1
Proviamo che la funzione f è il limite della successione (fn )n∈N nella distanza indotta
dalla norma k · kp . Precisamente, affermiamo che
Z
|fn (x) − f (x)|p dµ = 0.
lim
n→∞
X
Infatti, fissato ε > 0 usando il Lemma di Fatou e la condizione di Cauchy si vede che
esiste n̄ ∈ N tale che
Z
Z
p
|fn (x) − f (x)| dµ =
lim |fn (x) − fni (x)|p dµ
i→∞
X
X
Z
≤ lim inf
|fn (x) − fni (x)|p dµ ≤ ε,
i→∞
X
pur di prendere n ≥ n̄. Dalla disuguaglianza (1.14) si trova
Z
Z
p
|f | dµ ≤ Cp (|f − fn |p + |fn |p )dµ,
X
X
p
e dunque f ∈ L (X).
Consideriamo il caso p = ∞. Sia (fn )n∈N una successione di Cauchy in L∞ (X) e
definiamo per ogni m, n, k ∈ N gli insiemi
Amn = {x ∈ X : |fm (x) − fn (x)| > kfm − fn k∞ },
Bk = {x ∈ X : |fk (x)| > kfk k∞ }.
Tutti questi insiemi hanno misura nulla, e dunque anche l’insieme
[
[
E=
Bk ∪
Amn ,
k∈N
m,n∈N
ha misura nulla, µ(E) = 0. Sul complementare X \ E, la successione di funzioni
(fn )n∈N è uniformemente di Cauchy e dunque converge uniformemente ad una funzione
limitata f .
Corollario 3.34. Sia (X, A , µ) uno spazio di misura e sia 1 ≤ p ≤ ∞. Sia
fn ∈ Lp (X), n ∈ N, una successione di funzioni convergente in norma ad una funzione
f ∈ Lp (X). Allora esiste una sottosuccessione (fnk )k∈N convergente puntualmente ad
f µ-q.o.
32
3. SPAZI DI FUNZIONI INTEGRABILI
Dim. Poichè (fn )n∈N è di Cauchy, l’affermazione segue dalla dimostrazione del
teorema di completezza.
4. Convergenza forte, debole, in misura e q.o.
Sia (X, A , µ) uno spazio di misura. Introduciamo e confrontiamo fra alcune
nozioni di convergenza per successioni di funzioni (convergenza sequenziale). In generale, (fn )n∈N sarà una successione di funzioni misurabili su X a valori in [−∞, ∞]
ed f sarà una candidata funzione limite.
4.1. Convergenza forte. Sia 1 ≤ p ≤ ∞. Diremo che fn → f fortemente in
L (X) se fn , f ∈ Lp (X) e
lim kfn − f kp = 0.
p
n→∞
Sappiamo che in questo caso esiste una sottosuccessione (fni )i∈N che converge q.o. ad
f.
Esempio 4.1. In generale la convergenza forte non implica che fn (x) → f (x) per
q.o. x ∈ X. Si consideri X = [0, 1] con la misura di Lebesgue e la successione di
funzioni definita in questo modo:
f1
f2
f4
f8
= χ[0,1] ,
= χ[0,1/2] , f3 = χ[1/2,1] ,
= χ[0,1/4] , f5 = χ[1/4,1/2] , f6 = χ[1/2,3/4] , f7 = χ[3/4,1]
= χ[0,1/8] , . . .
Chiaramente, per ogni x ∈ [0, 1] si ha
lim inf fn (x) = 0,
lim sup fn (x) = 1,
n→∞
n→∞
mentre kfn kp → 0 per ogni 1 ≤ p < ∞ (ma non per p = ∞).
4.2. Convergenza debole. La nozione di convergenza debole nasce dalla nozione
di topologia debole su Lp (X) e dal teorema di dualità fra spazi Lp (X). Ne diamo qui
una presentazione autosufficiente ed equivalente.
Sia 1 ≤ p < ∞. Diremo che la successione (fn )n∈N converge debolmente ad f in
Lp (X) se fn , f ∈ Lp (X) e per ogni g ∈ Lq (X), con 1 < q ≤ ∞ esponente di Hölder
coniugato di p, si ha
Z
Z
lim
fn (x)g(x)dµ =
f (x)g(x)dµ.
n→∞
X
X
La convergenza debole si indica talvolta in questo modo fn * f in Lp .
La convergenza forte implica quella debole. Questo segue dalla disuguaglianza di
Hölder:
Z
Z
Z
fn g dµ −
f g dµ ≤
|fn − f ||g|dµ ≤ kfn − f kp kgkq .
X
X
X
Questa considerazione ha senso anche quando p = ∞. Ma per p = ∞ quella data
sopra non sarebbe la definizione corretta di convergenza debole ed abbiamo per tale
motivo escluso questo caso.
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