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9. Corpo rigido - Gruppo di fisica dei sistemi complessi di Bologna

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9. Corpo rigido - Gruppo di fisica dei sistemi complessi di Bologna
9. Corpo rigido
Il corpo rigido è il più significativo tra i sistemi di punti vincolati, poiché descrive molti
sistemi macroscopici e presenta alcuni moti integrabili. La cinematica del corpo rigido con
un punto fisso è quella del gruppo delle rotazioni; in assenza di vincoli esterni, alle rotazioni
si aggiungono le traslazioni, che rendono elicoidale il moto istantaneo. La dinamica è descritta dalle equazioni per la quantità di moto ed il suo momento, dette equazioni cardinali
o di Eulero, oppure dalle equazioni di Lagrange e di Hamilton. Le equazioni del moto si
scrivono nel sistema di riferimento solidale, perché la distribuzione di massa del corpo, i
cui momenti primo e secondo sono il centro di massa e la matrice d’inerzia, non varia. Il
momento della quantità di moto e l’energia cinetica dipendono dalla matrice d’inerzia, che
è diagonale nel sistema di assi principali, determinati dalle simmetrie del corpo. I moti di
precessione di un corpo non soggetto a forze (moto per inerzia) e di un corpo con un asse
di simmetria soggetto alla forza peso (moto giroscopico) vengono analizzati attraverso gli
integrali primi. Il moto per inerzia viene anche illustrato tramite la elegante costruzione
geometrica introdotta da Poinsot.
9.1. CINEMATICA
Il corpo rigido è un insieme di punti materiali le cui distanze sono fisse. I vincoli che
realizzano questa condizione si dicono interni, o di rigidità. Se non vi sono vincoli esterni,
il corpo rigido si dice libero ed ha sei gradi di libertà. Infatti, nota la posizione di tre
punti del corpo non allineati, che fissano un sistema di assi cartesiani, la posizione di
qualunque altro punto risulta univocamente determinata. Le nove coordinate cartesiane
dei tre punti sono vincolate da tre equazioni, che esprimono la costanza delle reciproche
c 88-08- 9820
9.1. Cinematica del corpo rigido
195
distanze. Se i punti che formano il corpo rigido sono N , le loro coordinate cartesiane
sono
3N e le relazioni che esprimono l’invariabilità delle reciproche distanze sono N2 = N (N2−1) .
Queste non sono tra loro indipendenti se N ≥ 5; se P1 , P2 , P3 fissano il riferimento, solo le
distanze di ogni successivo punto Pk con k > 3 da P1 , P2 , P3 sono indipendenti e fissano
la posizione di Pk , invece le distanze tra Pk e Pj con k, j ≥ 4 risultano già determinate.
Quindi i vincoli indipendenti sono
||ri − rj || = cij ,
(
i = 1,
i = 2,
i = 3,
j = 2, . . . , N
j = 3, . . . , N
j = 4, . . . , N
(9.1.1)
ed il loro numero è esattamente 3N − 6. Per determinare la configurazione spaziale del
corpo rigido è conveniente scegliere un riferimento cartesiano S ′ solidale con il corpo (ad
esempio l’origine O in P1 e gli assi x, y nel piano P1 , P2 , P3 ). I sei parametri necessari per
individuare S ′ rispetto a un riferimento fisso S sono le tre coordinate (x0 , y0 , z0 ) di O′ e i
tre angoli di Eulero (φ, θ, ψ).
I vincoli esterni più comuni sono un punto fisso e un asse fisso; nel primo caso i gradi di
libertà diventano tre ed è conveniente scegliere l’origine di S ′ nel punto fisso sicché i tre
parametri che individuano S ′ rispetto a S sono gli angoli di Eulero. Nel caso di un asse
fisso si ha un sol grado di libertà poiché la posizione del corpo è individuata dall’angolo
di rotazione rispetto all’asse. Si considerano anche corpi rigidi che si muovono in modo
tale che una loro sezione con un piano fisso si mantenga nel piano; il moto del corpo è
determinato da quello della sua sezione cioè di una figura piana nel piano. I gradi di
libertà sono tre: le coordinate (x0 , y0 ) dell’origine O′ del sistema solidale S ′ rispetto al
sistema fisso S e l’angolo tra gli assi x′ e x dei due sistemi. Se un punto della figura piana
è obbligato a muoversi su una curva assegnata, i gradi di libertà si riducono a due.
Vincoli esterni di tipo anolonomo sono quelli imposti dalla condizione che un corpo rotoli
senza strisciare su di una superficie.
Campi di velocità e accelerazione
Per un corpo rigido libero lo stato di moto più generale è costituito dalla sovrapposizione
di una traslazione e di una rotazione. Essendo S ′ rigidamente connesso al corpo rigido, le
posizioni, rispetto ad S ′ , di tutti i suoi punti sono costanti; la velocità dei punti del corpo
rigido è quindi semplicemente la velocità di trascinamento
v = v0 + ω × (r − r0 )
(9.1.2)
Notiamo che v è un campo vettoriale somma di un campo uniforme v0 e di uno solenoidale
ω × (r − r0 ), le cui linee di forza sono circonferenze. Chiamiamo asse di rotazione la retta
passante per l’origine O′ di S ′ e parallela ad ω. Se si cambia l’origine del sistema solidale
S ′ il termine di traslazione cambia, e cambia l’asse di rotazione pur restando parallelo al
precedente perché la velocità angolare ω rimane inalterata.
196
c 88-08- 9820
9. Corpo rigido
CCCCCCCCC ω
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC v
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
v
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
v
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
ω
M
vM
0
Figura 9.1.1.
r
!!!
!!!
!!!
!!!
Asse di Mozzi.
Se O1 è la nuova l’origine di S ′ e r1 = P − O1 e v1 = v0 + ω × (r1 − r0 ) la sua velocità si
ha
v = v0 + ω × (r − r1 + r1 − r0 ) = v1 + ω × (r − r1 )
(9.1.3)
Il punto O1 può esser scelto in modo che la velocità di traslazione v1 sia parallela all’asse
di rotazione.
Teorema di Mozzi. Ad ogni istante esiste un asse di rotazione, detto asse di Mozzi, i
cui punti hanno velocità parallela all’asse stesso. Rispetto ad un riferimento con l’origine
sull’asse di Mozzi il moto istantaneo del corpo rigido è elicoidale.
Siano i punti di tale asse dati da rM = r0 + r⊥ + λω, con r⊥ ortogonale ad ω, e sia
vM = v0 + ω × r⊥ la velocità di questi punti. La velocità di un punto rispetto ad un
sistema S ′ con l’origine su un punto M dell’asse di Mozzi è v = vM + ω × (r − rM ). Per
determinare rM imponiamo che vM sia parallelo ad ω:
ω × vM = ω × v0 + ω × (ω × r⊥ ) = ω × v0 − ω 2 r⊥ = 0
Ne segue che
(9.1.4)
ω ω
ω × v0
(9.1.5)
,
v
=
·
v
0
M
ω2
ω ω
Quindi vM è semplicemente la proiezione di v0 sull’asse di rotazione. Indicando con v⊥ la
componente di v0 perpendicolare all’asse di rotazione da (9.1.5) segue che il suo modulo
è dato da v⊥ = ωr⊥ Il moto è di tipo elicoidale perché gli archi di traiettoria descritti
in intervalli di tempo infinitesimi corrispondono a quelli di un’elica cilindrica, dato che la
traslazione avviene lungo l’asse di rotazione, vedi figura 9.1.1.
Nel moto di una figura piana sul piano l’asse di Mozzi interseca il piano in un punto C,
detto centro istantaneo di rotazione, la cui velocità istantanea è nulla. Rispetto al punto
C, il cui vettore posizione è rC = r0 + r⊥ , ha un moto di pura rotazione. Infatti la velocità
r⊥ =
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9.1. Cinematica del corpo rigido
197
di C è perpendicolare al piano, in quanto parallela all’asse di rotazione, e quindi non può
che esser nulla, perché altrimenti la figura uscirebbe dal piano. La velocità rispetto ad un
sistema con l’origine in C si scrive quindi
v = ω × (r − rC )
(9.1.6)
Il punto C cambia da istante a istante descrivendo una curva nel sistema fisso S che si
chiama rulletta, e un’altra curva nel sistema solidale S ′ , detta base. Per individuare C
basta conoscere le traiettorie di due punti del corpo; infatti r − rC è ortogonale a v e la
normale alla traiettoria di ogni punto è una retta che contiene C. Nel caso di un corpo
rigido piano, la condizione che questo rotoli senza strisciare su una curva fissa γ è espressa
dall’annullarsi della velocità istantanea del punto di contatto C, vedi figura 9.1.2. Questo
punto coincide con il centro di istantanea rotazione e la condizione di vincolo si scrive
vC = v0 + ω × (rC − r0 ) = 0
(9.1.7)
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
O
CCCCCCCCC
PCCCCCCCCC
0
CCCCCCCCC
CCCCCCCCC
C
CCCCCCCCC
Figura 9.1.2.
Corpo che rotola senza strisciare.
Come esempio di moto di una figura piana mostriamo nella figura 9.1.3 un’asta AB di
lunghezza 2ℓ i cui estremi sono vincolati a muoversi su due guide ortogonali, lungo cui
scegliamo gli assi x, y di S: la base è un cerchio di raggio ℓ e centro nel punto medio
dell’asta, la rulletta un cerchio di raggio 2ℓ e centro in O. Infatti detto θ l’angolo tra l’asta
e l’asse x le coordinate di C nel sistema fisso sono x = 2ℓ cos θ, y = 2ℓ sin θ, mentre nel
sistema solidale si ha x′ = ℓ 1 + cos(2θ) , y ′ = ℓ sin(2θ).
L’accelerazione del corpo rigido è data dall’accelerazione di trascinamento
a = a0 +
dω
× (r − r0 ) + ω × [ω × (r − r0 )]
dt
(9.1.8)
e, nel caso di pura rotazione uniforme, si riduce alla sola accelerazione centripeta data
dall’ultimo termine in (9.1.8)
198
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9. Corpo rigido
y
y’
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
B
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
C
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
D
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
O
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
A
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
base
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
rulletta
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
Figura 9.1.3.
x
x’
Centro istantaneo di rotazione C per un’asta, rulletta e base.
9.2. SISTEMI DI FORZE
Per un corpo rigido, costituito da un sistema di N punti con vincoli di rigidità ed eventuali
vincoli esterni, le equazioni del moto per i singoli punti sono date da (6.1.3). Le equazioni
del moto per la quantità di moto P ed il suo momento L date da (6.1.8) determinano
completamente il moto del corpo rigido e sono note come equazioni cardinali. Per il corpo
(e)
(e)
rigido libero F vinc
= 0 e Ω vinc
= 0 e le equazioni del moto diventano

dP


= F(e)
dt
(9.2.1)

 dL = Ω (e)
dt
Insieme con le (8.2.17) e M drG /dt = P costituiscono un sistema di 12 equazioni differenziali
del primo ordine nelle coordinate del baricentro, negli angoli di Eulero, nella velocità del
baricentro e in quella angolare, poiché L = Jω dove J è un operatore lineare, detto tensore
di inerzia la cui rappresentazione nel sistema di assi solidali è una matrice costante, vedi
paragrafo 9.3. Quando il corpo è vincolato il numero di equazioni indipendenti si riduce.
Se il corpo rigido ha un punto fisso O si sceglie in O l’origine di S ed S ′ ; la reazione
(e)
vincolare è applicata in O per cui Ω vinc
=0e
dL
= Ω (e)
dt
(9.2.2)
insieme con (8.2.17) costituisce un sistema di 6 equazioni differenziali del primo ordine
negli angoli di Eulero e nelle componenti della velocità angolare.
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9.2. Sistemi di forze
199
Se il corpo rigido ha un asse fisso z, le reazioni vincolari sono ortogonali all’asse e il
(e)
momento delle reazioni lungo l’asse è nullo Ωzvinc
= 0. L’equazione del moto è
dLz
= Ω(e)
z
dt
(9.2.3)
dove Lz = J φ̇ con φ angolo di rotazione e J momento d’inerzia rispetto all’asse z.
Sistemi di forze equivalenti
Nelle equazioni del moto compaiono solo la somma vettoriale F e il momento risultante
Ω di un sistema di forze applicato al corpo rigido. Due sistemi di forze con gli stessi
vettori F ed Ω producono lo stesso moto e si dicono equivalenti. Un sistema di forze con
F = Ω = 0 non altera il moto e la sua applicazione o rimozione conduce ad un sistema
di forze equivalente a quello dato. Il risultato è intuitivo: il sistema più semplice con
F = Ω = 0 è quello di due forze uguali e opposte (F = 0) e con stessa linea di azione
(Ω = 0).
F4
C
F1
F2
F3
F
Figura 9.2.1. Forze equivalenti.
L’effetto di queste due forze sarebbe quello di allontanare (o avvicinare) i punti P1 e
P2 cui sono applicate, con velocità diretta lungo la congiungente: ciò è impedito dalla
condizione di rigidità |ri − rj |2 = cij , derivando la quale si ha (vi − vj ) · (ri − rj ) = 0.
Di qui seguono tutte le regole relative alla composizione delle forze di un corpo rigido.
Come applicazione determiniamo il centro di un sistema di forze parallele, vedi figura
9.2.1. Siano F1 , F2 , . . . , FN le forze parallele applicate a P1 , P2 , . . . , PN con Fk = nFk .
Vogliamo determinare il luogo dei punti r rispetto al quale il momento totale si annulla
Ω=
N
X
k=1
(rk − r) × nFk = 0,
−→
r=
N
X
F k rk
k=1
N
X
k=1
+ αn
Fk
(9.2.4)
200
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9. Corpo rigido
y
A
CCCCCCCCCC x
CCCCCCCCCC
CCCCCCCCCC
z
CCCCCCCCCC
CCCCCCCCCC
CCCCCCCCCC
CCCCCCCCCC
CCCCCCCCCC
C
CCCCCCCCCC
!!!
CCCCCCCCCC
!!!
CCCCCCCCCC
!!!
!!!
CCCCCCCCCC
!!!
!!!
B
CCCCCCCCCC
CCCCCCCCCC !!!
Figura 9.2.2.
F
Centro di forze parallele (centrifughe) per un’asta rotante.
Per ogni direzione n fissata si ha una retta parallela ad n rispetto ai punti della quale
Ω = 0; tutte le rette si incontrano in un punto rC , definito da (9.2.4) per α = 0, che
risulta indipendente dall’orientamento delle forze e vien detto centro delle forze parallele.
Nel caso della forza peso Fk = mk g tale punto coincide con il centro di massa rG definito
da (4.2.1). Poiché rispetto a G il momento è nullo, il sistema delle forze peso è equivalente
a una sola forza di modulo F = M g applicata al baricentro G.
Calcolo di centri di forza
Molti corpi rigidi si possono considerare costituiti da una distribuzione continua di massa
con densità assegnata; in questo caso la somma in (9.2.4) o (4.2.1) è sostituita da un
integrale di volume (di superficie o di linea se il corpo è una lamina o un filo). Come
esempio consideriamo il campo di forze centrifughe su un’asta AB rotante con velocità
angolare ω attorno all’asse y passante per l’estremo A, vedi figura 9.2.2. Detta ξ la distanza
di un punto P dell’asta da A se θ è l’angolo tra l’asta e l’asse di rotazione, la distanza del
punto dall’asse è x = ξ sin θ e la forza centrifuga dF agente su un elemento di lunghezza
dξ è dato da dF = ω 2 xdm = ω 2 sin θ ξρ(ξ)dξ e quindi il centro del sistema di forze è dato
da
Z
Z
ℓ
ℓ
ξ 2 ρ(ξ)dξ
ξdF
ξC = Z0 ℓ
0
dF
= Z0 ℓ
(9.2.5)
ξρ(ξ)dξ
0
dove ρ(ξ) è la densità lineare dell’asta e ℓ la sua lunghezza. Se l’asta è omogenea ξC = 32 ℓ,
la forza totale applicata al centro è F = 12 mω 2 ℓ sin θ ed il suo momento Ωz = F ξC cos θ =
1
2 2
6 mω ℓ sin(2θ) . Il lavoro corrispondente è dW = Ωz dθ = −dV /dθ ed il potenziale delle
1
forze centrifughe V = 12
mω 2 ℓ2 (1 − 2 sin2 θ). Notiamo quindi che la lagrangiana dell’asta
nel sistema fisso è L = 16 mℓ2 (θ̇2 + ω 2 sin2 θ), se usiamo (9.3.16), (9.4.1) e (8.2.19) con
ψ̇ = 0, φ̇ = ω e può essere letta come L = T ′ − V , dove T ′ è l’energia cinetica nel sistema
rotante e V il potenziale delle forze centrifughe sopra calcolato.
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9.2. Sistemi di forze
201
y
BBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBB
G
BBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBB
Figura 9.2.3.
x
Centro di massa di un disco con un foro.
Per il calcolo del centro di massa osserviamo che se il corpo ha un piano di simmetria il
centro di massa appartiene al piano. Infatti se x, y è tale piano per ogni punto (x, y, z) si
ha un punto speculare (x, y, −z) con la stessa massa e quindi zG = 0 poiché nella somma si
hanno contributi a due a due uguali ed opposti. Se un corpo è formato da sottosistemi, di
cui conosciamo il centro massa G1 , G2 , . . . e la massa M1 , M2 , . . ., allora il centro di massa
totale G è quello del sistema di punti G1 , G2 , . . .. Tale procedimento è utile se il corpo è
omogeneo ed ha una cavità: si considera il centro di massa G1 del corpo senza cavità che
ha massa M1 e poi il centro di massa G2 della cavità attribuendogli massa negativa M2
dove M = M1 + M2 è la massa del corpo assegnato. Come esempio calcoliamo il centro
di massa di un disco omogeneo di raggio R con un foro circolare di raggio r < R/2 il cui
centro dista r dal centro del disco, vedi figura 9.2.3. Per simmetria il centro di massa sta
sull’asse y passante per i due centri. Scelta l’origine nel centro di massa del disco pieno che
ha massa M1 = ρπR2 il centro di massa del foro è in (0, r) e la sua massa è M2 = −ρπr2 .
Il centro di massa del disco con il foro è quindi
xG = 0,
yG =
r3
M2 r
=− 2
M1 + M2
R − r2
(9.2.6)
Equilibrio
Un corpo rigido è in equilibrio se vk = 0 e se rk = rk c soddisfano le equazioni
F(e) + F vinc
Ω (e) + Ω
(e)
=0
vinc (e)
(9.2.7)
=0
Si può provare che rk = rk c , vk = 0 sono un’orbita del sistema, cioè scelto rk (0) =
rk c , vk (0) = 0 si ha rk (t) = rk c , vk (t) = 0. Infatti dalle equazioni (6.1.8) segue che
P(t) = P(0) = 0 e che L(t) = L(0) = 0. Quindi vG = 0 e da (4.2.4) segue che è nullo il
momento della quantità di moto L′ rispetto al centro di massa G ove scegliamo l’origine
202
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9. Corpo rigido
di S’. Si annulla quindi la velocità angolare poiché L′ = Jω = 0 implica ω = 0 essendo J
un operatore lineare non singolare, detto tensore di inerzia, vedi paragrafo 9.3.
Come esercizio ricaviamo le condizioni per l’equilibrio usando il principio dei lavori virtuali.
Per il corpo rigido libero gli spostamenti virtuali coincidono con gli spostamenti reali
infinitesimi
δrk = vk δt = δr0 + δα × (r − r0 )
(9.2.8)
dove δα = nδα essendo n il versore dell’asse di rotazione e δα l’angolo infinitesimo di
rotazione. Il lavoro virtuale è
δW =
N
X
k=1
Fk · δrk = δr0 · F + δα · Ω
(9.2.9)
e poiché i vettori δr0 e δα = nδα sono arbitrari, da δW = 0 segue F = 0, Ω = 0. Se il corpo
ha un punto fisso nel quale scegliamo l’origine O del riferimento fisso e di quello solidale,
δW = δα · Ω e l’annullarsi del lavoro virtuale implica Ω = 0. Se c’è un asse fisso diretto
come n, solo δα è arbitrario l’annullarsi di δW implica n · Ω = 0. Questi risultati sono
(e)
(e)
sono in accordo con (9.2.7) perché se il corpo è libero risulta F vinc
= Ω vinc
= 0, se
vinc (e)
vinc (e)
ha un punto fisso Ω
= 0, se ha un asse fisso, n · Ω
= 0.
9.3. TENSORE D’INERZIA
Il problema del moto di un corpo rigido va affrontato mediante le equazioni cardinali
oppure le equazioni di Lagrange. Occorre quindi esprimere il momento della quantità di
moto nel primo caso, l’energia cinetica nel secondo, come funzione delle coordinate che
individuano il sistema solidale con il corpo e delle loro derivate prime. Se il corpo rigido è
libero scegliamo nel centro di massa G l’origine del sistema solidale, che risulta individuato
dalle coordinate di rG e dagli angoli di Eulero. Se la forma differenziale F · rG + Ω · dα,
dove esprimiamo dα = ωdt come differenziale negli angoli di Eulero tramite la (8.2.17),
risulta esatta, la si scrive come −dV dove V = V (xG , yG , zG , φ, θ, ψ) è il potenziale.
La energia cinetica ed il momento della quantità di moto si separano nella componente
traslazionale ed in quella rotazionale avendo scelto l’origine nel centro di massa. Infatti
detti T ′ e L′ la energia cinetica ed il momento della quantità di moto rispetto al sistema
con l’origine in rG e gli assi paralleli al sistema fisso, che rappresentano il contributo
rotazionale, valgono le relazioni (4.2.4). D’ora in poi intenteremo che T ed L si riferiscano
a un corpo rigido con un punto fisso poiché le stesse considerazioni si applicano a T ′ ed L′
nel caso di un corpo rigido libero.
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9.3. Tensore di inerzia
203
Momento d’inerzia
Se l’asse di rotazione è fisso ω = nω con n costante, valgono le relazioni elementari
T =
1
J(n)ω 2
2
L · n = J(n)ω
(9.3.1)
dove J(n) è il momento d’inerzia rispetto all’asse
J(n) =
N
X
ms ρ2s
(9.3.2)
s=1
e ρs è la distanza del punto Ps rispetto dall’asse di rotazione. Infatti da vs = kω×rs k = ωρs
seguono (9.3.1) e (9.3.2). La proiezione di L sull’asse di rotazione è data da
N
N
L·ω
1X
2T
1X
L·n=
ms ω · rs × vs =
ms ω × rs · vs =
=
= J(n)ω
ω
ω s=1
ω s=1
ω
(9.3.3)
Se l’asse di rotazione non è costante, n e J(n) variano nel tempo. È allora conveniente
esprimere T ed L mediante le componenti di ω assi del sistema solidale S ′ , rispetto ai quali
la distribuzione delle masse del corpo rigido è costante nel tempo.
Matrice di inerzia
La velocità di un punto di un corpo rigido rotante con velocità angolare ω è
vs = ω × rs = e′x (ωy′ zs′ − ωz′ ys′ ) + e′y (ωz′ x′s − ωx′ zs′ ) + e′z (ωx′ ys′ − ωy′ x′s )
(9.3.4)
e l’energia cinetica è una forma quadratica in ωx′ , ωy′ , ωz′
T =
1
2
2
2
[Jxx ωx′ + Jyy ωy′ + Jzz ωz′ + 2Jxy ωx′ ωy′ + 2Jxz ωx′ ωz′ + 2Jyz ωy′ ωz′ ]
2
I coefficienti della forma quadratica formano

Jxx


J
J =  xy


Jxz
la matrice d’inerzia J.

Jxy Jxz


Jyy Jyz 



Jyz Jzz
(9.3.5)
(9.3.6)
La matrice J è simmetrica definita positiva: infatti T è positiva e si annulla se e soltanto
se ω = 0. Le componenti della matrice di inerzia si calcolano partendo dalla definizione di
energia cinetica, ovvero sostituendo (9.3.4) nella definizione di T
N
N
1X
1X
T =
ms vs · vs =
ms [(ωy′ zs′ − ωz′ ys′ )2 + (ωz′ x′s − ωx′ zs′ )2 + (ωx′ ys′ − ωy′ x′s )2 ] (9.3.7)
2 s=1
2 s=1
204
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9. Corpo rigido
e sono date da
Jxx =
N
X
2
2
ms (ys′ + zs′ )
Jxy = −
s=1
N
X
Jyy =
Jzz =
s=1
N
X
2
2
ms (x′s + zs′ )
2
Jyz = −
2
ms (x′s + ys′ )
Jxz = −
s=1
N
X
s=1
N
X
s=1
N
X
ms x′s ys′
ms ys′ zs′
(9.3.8)
ms x′s zs′
s=1
Gli elementi diagonali Jxx , Jyy , Jzz sono i momenti d’inerzia rispetto agli assi coordinati.
Il momento d’inerzia rispetto a un asse arbitrario individuato dal versore n si ottiene
immediatamente ponendo ω = ωn e confrontando (9.3.5) con (9.3.1).
2
2
2
J(n) = Jxx n′x + Jyy n′y + Jzz n′z + 2Jxy n′x n′y + 2Jxz n′x n′z + 2Jyz n′y n′z
(9.3.9)
L’espressione per L′x si ricava osservando che
N
N
N
X
X
X
∂T
∂vs
′
′
rs × ms vs = L′x
ms vs ·
ms vs · ex × rs = ex ·
′ =
′ =
∂ωx
∂ωx
s=1
s=1
s=1
(9.3.10)
e analoghe espressioni si hanno per L′y e L′z . Ne segue che le componenti di L sul sistema
solidale sono date da
 ′ 
 ′ 
ωx
Lx
 L′y  = J  ωy′ 
(9.3.11)
′
′
ωz
Lz
La matrice di inerzia trasforma le componenti della velocità angolare in quelle del momento
della quantità di moto. Indicando con J il corrispondente operatore lineare, detto anche
tensore di inerzia, scriveremo
L = Jω,
T =
1
1
ω · Jω = ω · L
2
2
(9.3.12)
Assi principali d’inerzia
L’asse x si dice principale d’inerzia se Jxy e Jxz sono nulli; il momento di inerzia rispetto
all’asse x che indichiamo con Jx si dice momento principale di inerzia. Se l’asse x è
principale di inerzia, la matrice d’inerzia ha la struttura a blocchi

Jx


 0
J =


0
0
Jyy
Jyz
0



Jyz 



Jzz
(9.3.13)
c 88-08- 9820
9.3. Tensore di inerzia
205
Analogamente y e z sono assi principali d’inerzia se Jxy = Jyz = 0 e se Jxz = Jyz = 0
rispettivamente; se due assi sono principali di inerzia anche il terzo asse lo è e la matrice
J è diagonale.
Gli assi principali di inerzia sono gli autovettori della matrice J ed i momenti principali di
inerzia Jx , Jy , Jz i corrispondenti autovalori. Gli autovettori di J sono ortonormali poiché
J è simmetrica e quindi la trasformazione agli assi principali si ottiene con una rotazione.
Se il corpo ha particolari simmetrie gli assi principali si individuano senza bisogno di
diagonalizzare la matrice.
Ogni asse ortogonale ad un piano di simmetria è principale d’inerzia; un asse di simmetria
e gli assi ad esso ortogonali sono principali di inerzia.
Infatti se xy è un piano di simmetria, per ogni punto di massa m e coordinate (x, y, z)
esiste un punto (x, y, −z) speculare rispetto al piano con la stessa massa; nella somma
che definisce Jxz per ogni termine mxz c‘è un termine −mxz di segno opposto e quindi
Jxz = 0. Nello stesso modo si prova che Jyz = 0, mentre Jxy 6= 0. Un asse di simmetria
è l’intersezione di piani di simmetria. Se z è un asse di simmetria i piani xz e yz sono di
simmetria: quindi tutti gli assi sono principali d’inerzia e Jx = Jy . I solidi di rotazione
omogenei o con densità che dipende solo dalla distanza dall’asse hanno questa simmetria
e si dicono a struttura giroscopica.
Figura 9.3.1.
Corpo con un piano di simmetria (lato sinistro), con un asse di simmetria (lato destro).
Metodi di calcolo
Le componenti della matrice d’inerzia sono state qui definite come somme sui punti del
corpo rigido. Spesso conviene considerare il corpo come un solido con una distribuzione
di massa continua anziché discreta. Allora le somme vengono sostituite da integrali di
volume oppure di superficie o di linea se il corpo è una lamina o un filo. Le masse dei punti
diventano elementi di massa espressi dal prodotto della densità per l’elemento infinitesimo
volume o di superficie o di linea..
206
c 88-08- 9820
9. Corpo rigido
Per semplificare il calcolo della matrice di inerzia è conveniente scegliere inizialmente il
sistema di assi principali con l’origine nel centro di massa: infatti se il corpo ha un piano
od un asse di simmetria il centro di massa appartiene al piano o all’ asse ed è semplice
determinare gli assi principali ed i loro momenti d’inerzia JxG , JyG , JzG . Per un corpo generico
senza simmetrie la matrice d’inerzia rispetto ad un qualunque sistema si esprime attraverso
questi momenti e le coordinate del centro di massa
Jxx = JxG + M (yG2 + zG2 )
Jxy = −M xG yG
Jyy = JyG + M (x2G + zG2 )
Jxz = −M xG zG
Jzz = JzG + M (x2G + yG2 )
Jyz = −M yG zG
(9.3.14)
che seguono dalle equazioni di trasformazione delle coordinate xs = xG + x′s notando che
P
′
s ms xs = 0 e da relazioni analoghe per y e z.
Teorema di Steiner. Il momento di inerzia J(n) rispetto ad un asse n è uguale al
momento di inerzia J G (n) rispetto ad un asse parallelo passante per il baricentro, sommato
con il prodotto tra la massa totale ed il quadrato della distanza ℓ tra i due assi
J(n) = J G (n) + M ℓ2
(9.3.15)
Il risultato, evidente se n è uno degli assi coordinati. In generale si prova sostituendo
(9.3.14) in (9.3.9) che dà J(n) = J G (n) + M kn × rG k2 .
Per un corpo omogeneo con una cavità è conveniente calcolare il momento di inerzia del
corpo senza cavità, quello della cavità con la stessa densità di massa presa con segno
negativo e sommare i due risultati, seguendo lo stesso procedimento usato per il calcolo
del centro di massa.
A titolo di esempio calcoliamo i momenti di un’asta omogenea lunga ℓ di massa m rispetto
ad un sistema con l’origine nel centro di massa e l’asse z orientato lungo l’asta. Gli assi
sono principali di inerzia ed essendo la densità lineare dell’asta ρ = m/ℓ
Jx = Jy =
Z
ℓ/2
z 2 ρdz =
−ℓ/2
mℓ2
,
12
Jz = 0
(9.3.16)
Rispetto ad un sistema con l’origine in un estremo dell’asta, i momenti si ottengono col
teorema di Steiner e valgono Jx = Jy = mℓ2 /3. Per una lamina omogenea quadrata di
lato ℓ e massa m consideriamo il riferimento cartesiano con origine nel centro di massa ed
assi x, y paralleli ai lati. Per la simmetria gli assi coordinati sono principali di inerzia e si
ha Jx = Jy = mℓ2 /12, Jz = Jx + Jy . Per una sfera i tre momenti di inerzia rispetto agli
assi cartesiani con origine nel centro sono uguali Jx = Jy = Jz . Se la densità di massa è
ρ = 3m(4πR3 )−1 si ha usando coordinate polari
Jx + Jy + Jz = 8π
Z
0
R
ρ r4 dr =
8π 5 6
ρR = mR2
5
5
(9.3.17)
c 88-08- 9820
9.4. Moto per inerzia
207
e quindi Jx = 52 mR2 .
Per un cerchio omogeneo di raggio R e massa m i momenti di inerzia rispetto ad un sistema
di assi baricentrico con l’asse z perpendicolare al piano del cerchio sono
m
Jx =
πR2
Z
0
2π
dφ
Z
R
r2 sin2 φ rdr =
0
mR2
,
4
Jy = Jx ,
Jz = Jx + Jy = 2Jx
(9.3.18)
9.4. MOTO PER INERZIA
Scegliendo come assi del riferimento solidale con il corpo rigido quelli principali di inerzia,
l’energia cinetica e il momento della quantità di moto risultano quindi espressi da
T =
1
2
2
2
(Jx ωx′ + Jy ωy′ + Jz ωz′ )
2
L′x = Jx ωx′
L′y = Jy ωy′
(9.4.1)
L′z = Jz ωz′
Le equazioni del moto (9.2.2) proiettate sugli assi del sistema solidale, si scrivono utilizzando, per il vettore L, la trasformazione (8.3.3) tra le derivate temporali, che vale per un
vettore generico
′
dL
dL
=
+ω×L
(9.4.2)
dt
dt
Equazioni di Eulero
Le equazioni del moto (9.4.2) proiettate sul sistema di assi solidale sono note come equazioni
di Eulero.
Jx ω̇x′ + ωy′ ωz′ (Jz − Jy ) = Ω′x
Jy ω̇y′ + ωx′ ωz′ (Jx − Jz ) = Ω′y
(9.4.3)
Jz ω̇z′ + ωx′ ωy′ (Jy − Jx ) = Ω′z
Insieme con le equazioni (8.2.17) costituiscono un sistema di sei equazioni differenziali del
primo ordine nelle variabili ωx′ , ωy′ , ωz′ , φ, θ, ψ. Analoghe equazioni si ottengono per il corpo
rigido non vincolato; infatti, scelta l’origine del sistema solidale nel baricentro G, si ha
dv
M G = F(e)
dt
dL′
dt
′
+ ω × L′ = ΩG(e)
(9.4.4)
dove L′ è il momento angolare nel sistema del centro di massa, vedi (4.2.6).
Per corpo rigido con un punto fisso, libero o soggetto a forze con momento Ω(e)
nullo, le
G
′
equazioni di Eulero (9.4.3), per le componenti ωi della velocità angolare, si disaccoppiano
208
c 88-08- 9820
9. Corpo rigido
da quelle per gli angoli (8.2.18) e si integrano per quadrature. Ciò è possibile perché
l’energia cinetica
1
2
2
2
E = (Jx ωx′ + Jy ωy′ + Jz ωz′ )
(9.4.5)
2
ed il momento della quantità di moto L sono integrali primi del moto. La conservazione
di L2 si scrive
2
2
2
L2 = Jx2 ωx′ + Jy2 ωy′ + Jz2 ωz′ ,
(9.4.6)
La curva che ω descrive sulla intersezione dei due elissoidi (9.4.5) e (9.4.6) solidali con il
corpo si parametrizza esprimendo ωy′ e ωz′ in funzione di ωx′ cioè
2
2
2
2
Jy (Jz − Jy )ωy′ = 2EJz − L2 − Jx (Jz − Jx )ωx′
Jz (Jy − Jz )ωz′ = 2EJy − L2 − Jx (Jy − Jx )ωx′
(9.4.7)
La prima equazione (9.4.3) con Ω′x = 0 si integra per separazione di variabili e la soluzione,
esprimibile attraverso le funzioni ellittiche, risulta periodica in t. In modo analogo si
trovano le soluzioni per ωy (t) e ωz (t). Gli angoli di Eulero si ottengono tramite una sola
quadratura (per l’angolo φ), se scegliamo l’asse z del sistema fisso diretto come L; in questo
caso le componenti di L sul sistema solidale sono
L′x = L sin θ sin ψ = Jx ωx′
L′y = L sin θ cos ψ = Jy ωy′
(9.4.8)
L′z = L cos θ = Jz ωz′
poiché θ è l’ angolo polare e π/2 − ψ l’ angolo azimultale dell’asse z rispetto al sistema
solidale. Da (9.4.8) si ottengono θ e ψ
cos θ =
Jz ′
ω ,
L z
tan ψ =
Jx ωx′
Jy ωy′
(9.4.9)
e l’equazione per la φ si ha invertendo (8.2.17)
ωx′ sin ψ + ωy′ cos ψ
dφ
=
dt
sin θ
(9.4.10)
Moltiplicando in (9.4.10) il numeratore ed il denominatore per L2 sin θ ed usando (9.4.8)
si ottiene
2
2
Jx ω ′x + Jy ωy′
dφ
=L 2 ′2
(9.4.11)
dt
Jx ω x + Jy2 ωy′ 2
Stabilità degli assi principali
Tra le soluzioni delle equazioni di Eulero per il moto libero ci sono quelle di equilibrio
ωx′ = ω, ωy′ = ωz′ = 0 e le altre due ottenute per permutazione ciclica degli indici che
c 88-08- 9820
9.4. Moto per inerzia
209
corrispondono a rotazioni con velocità angolare costante attorno agli assi principali. Un
problema che si pone è quello della stabilità lineare degli assi. Consideriamo allora una
soluzione vicina a quella di equilibrio in cui le velocità angolari sono ωx′ + ω, ωy′ , ωz′ dove
ωx′ , ωy′ , ωz′ sono cosı̀ piccole da poter trascurare i termini quadratici. Le equazioni di Eulero
diventano
Jx ω̇x′ = 0
Jy ω̇y′ + ωz′ ω(Jx − Jz ) = 0
(9.4.12)
Jz ω̇z′ + ωy′ ω(Jy − Jx ) = 0
La soluzione è periodica e l’orbita nel piano ωx′ , ωy′ è una ellisse se (Jx − Jy )(Jx − Jz ) > 0.
Se invece (Jx − Jy )(Jx − Jz ) < 0 l’orbita è una iperbole e la soluzione è esponenziale in t.
Infatti derivando la terza equazione (9.4.12) e sostituendo nella seconda si ha
ω2
(Jx − Jz )(Jx − Jy ) = 0
Jy ω¨y′ + ω˙z′ (Jx − Jz ) = Jy ω¨y′ + ωy′
Jz
(9.4.13)
Permutando ciclicamente gli indici si ottengono le condizioni di stabilità per le rotazioni
attorno agli assi y e z: se Jx < Jy < Jz le rotazioni attorno agli assi x′ , z ′ sono stabili
mentre la rotazione attorno all’asse y ′ è instabile.
z’
ω
m
r
y’
x’
Figura 9.4.1.
Elissoide di inerzia.
È possibile determinare le traiettorie che il vettore ω traccia su un elissoide solidale con il
corpo, detto elissoide di inerzia mediante una costruzione geometrica basata sugli invarianti
del moto. L’elissoide di inerzia è definito da
2
2
2
F (x′ , y ′ , z ′ ) = Jx x′ + Jy y ′ + Jz z ′ = 1
(9.4.14)
La conservazione dell’energia (9.4.5) implica che il vettore
ω
r= √
2E
(9.4.15)
210
c 88-08- 9820
9. Corpo rigido
′
ωx′ √ωy √ωz′
, 2E , 2E ) nel sistema solidale appartiene all’elissoide,
di componenti (x′ , y ′ , z ′ ) = ( √2E
vedi figura 9.4.1. Il vettore r individua il punto in cui l’asse di rotazione istantanea interseca
l’elissoide e ad ogni istante appartiene anche ad un secondo elissoide, che si ottiene dalla
conservazione del momento angolare (9.4.6)
2EJx2 ′ 2 2EJy2 ′ 2 2EJz2 ′ 2
x +
y +
z =1
L2
L2
L2
(9.4.16)
Pertanto la traiettoria dell’asse di rotazione è definita dalla intersezione dei due elissoidi.
Vicino alle intersezioni con gli assi x′ e z ′ le intersezioni sono curve chiuse la cui proiezione
sui piani ortogonali sono ellissi, mentre nel caso dell’asse y ′ si ottiene una curva la cui
proiezione è una iperbole se Jx < Jy < Jz . Ad esempio la proiezione delle orbite prossime
ad x′ ottenuta eliminando x′ tra (9.4.14) e (9.4.16)
2
2
(Jx − Jy )Jy y ′ + (Jx − Jz )Jz z ′ = Jx − L2 /(2E)
(9.4.17)
è una ellisse se (Jx − Jy )(Jx − Jz ) > 0.
Costruzione geometrica di Poinsot
Dalla soluzione delle equazioni di Eulero sopra delineata non emergono in modo chiaro le
caratteristiche del moto per inerzia nel sistema fisso data la complessità della soluzione
analitica. Esiste tuttavia una costruzione di natura puramente geometrica, da cui risulta
che il corpo rigido è animato da un moto di precessione.
Teorema di Poinsot. Nel moto per inerzia di un corpo rigido con un punto fisso l’elissoide
di inerzia rotola senza strisciare
√ su di un piano fisso la cui normale è diretta come L e la cui
distanza dall’origine è d = 2E/L. L’asse di rotazione descrive un cono nel sistema fisso
ed un cono nel sistema solidale; l’asse di rotazione è ad ogni istante la semiretta comune
ai due coni, che rotolano senza strisciare l’uno sull’altro.
Il versore m normale all’ellissoide in r si calcola tenendo conto che
L′i
∂F
Ji ωi′
′
√
√
=
2J
x
=
2
=
2
i
i
∂x′i
2E
2E
ed è dato da
m=
L
grad F
=
||grad F ||
L
(9.4.18)
(9.4.19)
Il vettore L è costante rispetto al sistema fisso, non in quello solidale. Il modulo L è invece
costante in entrambi i sistemi poiché è invariante per rotazione. Si riconosce quindi che la
proiezione di r sull’asse avente la direzione di m è costante.
c 88-08- 9820
9.5. Moti giroscopici
ω
211
z
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
m
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
L
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
z’
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
P’
P
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
r
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
O
y’
x’
Figura 9.4.2.
Piano invariante per l’elissoide di inerzia.
ω·L
=
r·m= √
L 2E
√
2E
L
(9.4.20)
Tale prodotto scalare rappresenta la distanza dall’origine del piano tangente all’ellissoide.
Durante il moto del corpo rigido l’elissoide d’inerzia si muove in modo solidale con questo
poiché i suoi assi coincidono con gli assi principali d’inerzia; inoltre, se il corpo rigido non è
soggetto a forze T ed L sono costanti e quindi anche r · m è costante. Perciò si ha un piano
fisso, perpendicolare ad L, con cui elissoide è a contatto e che ha dal centro di questo una
distanza fissa, vedi figura 9.4.2. Su questo piano, detto invariabile, l’elissoide rotola senza
strisciare poiché la velocità del punto di contatto vale v = ω × r = 0. L’asse di rotazione
istantaneo è la retta che congiunge il centro dell’elissoide con il suo punto di contatto col
piano invariabile. Se il corpo ha un asse di simmetria z ′ , allora l’elissoide è di rotazione
attorno a z ′ e il punto di contatto durante il moto descrive una circonferenza sia sul piano
invariabile sia sull’elissoide stesso. Perciò la velocità angolare ω nel sistema fisso si sposta
descrivendo un cono rotondo (la sezione normale all’asse è una circonferenza); anche nel
sistema solidale ω descrive un cono rotondo con l’asse in z ′ , vedi figura 9.4.3. Durante il
moto i due coni rotolano senza strisciare l’uno sull’altro. La loro intersezione con la sfera
unità sono due cerchi che rotolano senza strisciare ed il punto di contatto si muove di moto
uniforme su un cerchio, vedi figura 9.6.1. Il moto è una precessione regolare perché l’asse
di rotazione ruota attorno ad una direzione fissa in ciascuno dei due sistemi di riferimento.
212
c 88-08- 9820
9. Corpo rigido
L
ω
z’
Figura 9.4.3.
Coni di Poinsot.
9.5. MOTI GIROSCOPICI
Il moto per inerzia è particolarmente semplice quando il corpo possiede un asse di simmetria
z ′ cioè se ha struttura giroscopica. I coni di Poinsot sono rotondi e le loro intersezioni con
la sfera unitaria sono circonferenze che rotolano senza strisciare l’una sull’altra. L’asse di
simmetria z ′ ha θ, π/2 − φ come angoli polare ed azimultale rispetto al sistema S mentre
ψ è l’angolo di rotazione del corpo attorno a z ′ . La traiettoria descritta dall’asse z ′ sulla
sfera unitaria è anch’essa una circonferenza il cui centro è sull’asse avente la direzione di
L. La soluzione analitica è semplice in questo caso: infatti dato che Jx = Jy le equazioni
di Eulero diventano

′
′ ′

 Jx ω̇x + ωy ωz (Jz − Jx ) = 0
Jx ω̇y′ + ωz′ ωx′ (Jx − Jz ) = 0
(9.5.1)


Jz ω̇z′ = 0
L’ultima equazione implica ωz′ = ωz′ (0) e, posto
ω = ωz′ (0)
Jx − Jz
Jx
(9.5.2)
le prime due equazioni diventano
ω̇x′ =
ω ωy′
ω̇y′ = −ω ωx′
(9.5.3)
La soluzione ωx′ = A sin(ωt + α) e ωy′ = A cos(ωt + α) può essere riscritta nella forma
seguente
 ′ 

 ′


ωx
0
ωx (0)
 ωy′  = Rz (ωt + α)  A  = Rz (ωt)  ωy′ (0) 
(9.5.4)
ωz′
ωz′ (0)
ωz′ (0)
e mostra che il vettore ω ruota attorno a z ′ con velocità angolare ω nel sistema solidale.
c 88-08- 9820
9.5. Moti giroscopici
213
Per determinare il moto nel sistema fisso, confrontiamo la soluzione ottenuta (9.5.4) con
l’espressione (8.2.17) delle componenti ωi′ della velocità angolare in funzione degli angoli
di Eulero. Dal confronto non emerge una soluzione unica; l’arbitrarietà risiede nella scelta
degli assi del sistema fisso rispetto al vettore costante L. La soluzione più semplice si
ottiene scegliendo ψ = ωt + α da cui segue
θ̇ = 0,
φ̇ sin θ = A,
φ̇ cos θ + ψ̇ = ωz′ (0)
(9.5.5)
In questo caso l’asse z ′ ha inclinazione costante rispetto a z, il corpo ruota con velocità
angolare costante ψ̇ attorno all’asse z ′ , che a sua volta ruota con velocità angolare costante
φ̇ attorno a z. Con la scelta fatta l’asse z non è qualsiasi ma ha la stessa direzione di L. Per
verificarlo è sufficiente considerare la espressione che hanno le componenti di L nel sistema
solidale quando l’asse z è diretto lungo L. Da (9.4.8) tenendo conto della condizione di
simmetria Jx = Jy segue che
 ′ 


ωx
0
 ωy′  = Rz (ψ)  sin θ L/Jx 
(9.5.6)
′
ωy
cos θ L/Jz
Confrontando (9.5.6) e (8.2.17) emerge che θ̇ = 0, φ̇ = L/Jx e φ̇ cos θ + ψ̇ = cos θ L/Jz .
Il moto nel riferimento fisso è una precessione come si vede scrivendo ω = φ̇ez + ψ̇e′z dove
l’angolo θ tra i due assi ez , e′z è costante e le rispettive componenti, detto L′z = L cos θ
sono
1
L
1
′
−
,
φ̇ =
(9.5.7)
ψ̇ = ω = Lz
Jz
Jx
Jx
Moti nel campo di gravità
Pendolo fisico. È cosı̀ chiamato un corpo rigido con un asse z fisso. Detta ℓ la distanza
del baricentro dall’asse e φ l’angolo che il piano passante per l’asse z, che supponiamo
orizzontale, e il baricentro forma con il piano verticale yz, vedi figura 9.5.1, la lagrangiana
si scrive
1
L = J φ̇2 + M gℓ cos φ
(9.5.8)
2
dove J è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione. L’equazione del moto
J φ̈ + M gℓ sin φ = 0
y
z
Figura 9.5.1.
CCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCC
O
CCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCC
x
CCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCC
φ G
CCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCC
Pendolo fisico: sezione con il piano verticale passante per il baricentro.
(9.5.9)
214
c 88-08- 9820
9. Corpo rigido
è quella di un pendolo semplice di lunghezza J/M ℓ, che prende il nome di lunghezza ridotta.
La equazione (9.5.9) si ottiene anche a partire da (9.2.3) dove le proiezioni sull’asse z del
momento della quantità di moto e della forza peso sono dati da Lz = Jz ωz = Jz φ̇ e da
Ωz = −M gℓ sin φ. Dal confronto con (9.5.9) segue Ωz = −dV /dφ, relazione identica a
(9.2.9), che in questo caso diventa dW = Ωz dφ = −dV . Se l’asse di rotazione non è
orizzontale indichiamo con x′ , z ′ gli assi ottenuti ruotando di α rispetto all’asse x gli assi
y, z indicati in nella figura 9.5.1. Nel sistema x′ , z ′ , ove z ′ è l’asse di rotazione del pendolo,
l’accelerazione di gravità è g = −g cos α j′ + g sin α k′ e la posizione del centro di massa
rG = sin φ i − cos φ j′ . Il potenziale della forza peso è V = −M g · rG = −M gℓ cos φ cos α da
cui si ricava Ω′z = −dV /dφ e quindi la equazione del moto è (9.5.9) dove g viene moltiplicato
per cos α.
Trottola di Lagrange. È costituita da corpo rigido con un asse di simmetria z ′ e un punto
fisso appartenente a z ′ , vedi figura 9.5.2. La sua lagrangiana è data da
1
Jx 2 Jx 2 2
Jz
1
2
2
2
Jx (ωx′ + ωy′ ) + Jz ωz′ − V =
θ̇ +
φ̇ sin θ + (ψ̇ + φ̇ cos θ)2 − M gℓ cos θ
2
2
2
2
2
(9.5.10)
dove ℓ è la distanza tra il punto fisso e il baricentro e per ωx′ , ωy′ , ωz′ si sono usate le
(8.2.17).
L=
z’
z
G
ϕ
θ
y
ψ
x
L
Figura 9.5.2.
x’
Giroscopio pesante o trottola di Lagrange.
Poiché L non dipende da ψ, φ e t i tre integrali primi del moto pψ , pφ , H = T + V
riconducono la soluzione a quadrature. Essendo φ e ψ gli angoli di rotazione attorno agli
assi z e z ′ , l’invarianza della lagrangiana per rotazione attorno ad essi implica (teorema
c 88-08- 9820
9.5. Moti giroscopici
215
di Nöther) che che le proiezioni del momento della quantità di moto L su questi assi sono
costanti
L′z = pψ = Jz (ψ̇ + φ̇ cos θ)
Lz = pφ = Jx φ̇ sin2 θ + Jz cos θ(ψ̇ + φ̇ cos θ) = Jx φ̇ sin2 θ + pψ cos θ
(9.5.11)
Dalla seconda delle (9.5.11) si ricava φ̇
pφ − pψ cos θ
Jx sin2 θ
(9.5.12)
p2ψ
1
1 (pφ − pψ cos θ)2
+
+ M gℓ cos θ
Jx θ̇2 +
2
2
2Jz
Jx sin2 θ
(9.5.13)
φ̇ =
e infine per l’energia si trova
E=
Introdotta la variabile u = cos θ l’equazione del moto si scrive
du
dt
2
p2ψ
(pφ − upψ )2
2
2
(1 − u ) E −
− M gℓu −
= P (u) ≡
Jx
2Jz
Jx2
(9.5.14)
Osserviamo che P (±1) < 0 e che per u → ∞ si ha P (u) ∝ u3 ; quindi P (u) nell’intevallo
[−1, 1] ha due zeri distinti oppure uno zero doppio. Detti u± gli zeri e θ± i valori corrispondenti per θ, il moto di θ(t) risulta periodico tra questi due valori. Descriviamo il
moto attraverso l’intersezione dell’asse di simmetria z ′ con la sfera unitaria, ove θ e π/2−φ
sono le coordinate polari. La traiettoria è compresa tra due cerchi paralleli θ = θ− , θ+ ed
il moto in φ è determinato dall’equazione (9.5.12). Perciò se il numeratore non si annulla
il moto in φ è monotono e la traiettoria è quella indicata nella figura 9.5.3, mentre se si
annulla φ non è più monotona e si ha inversione del moto; nel caso di transizione φ(t) è ancora monotona ma la traiettoria presenta delle cuspidi. L’oscillazione dell’asse z ′ rispetto
all’asse z, che è assente nel moto per inerzia, viene detta nutazione.
z
y
x
Figura 9.5.3. Traiettorie tracciate sulla sfera dall’asse di simmetria del giroscopio.
216
c 88-08- 9820
9. Corpo rigido
9.6. FORMULAZIONE HAMILTONIANA
Prendiamo in esame due formulazioni hamiltoniane per il moto del corpo rigido basate
sugli angoli di Eulero e sugli angoli di Deprit. Nel primo caso si ottiene una hamiltoniana
esplicitamente integrabile se si sceglie l’asse z diretto come il momento della quantità moto
L, nel secondo invece la scelta del sistema fisso può farsi in modo indipendente da L.
Hamiltoniano con angoli di Eulero
Calcoliamo i momenti coniugati pk degli angoli di Eulero qk esprimendoli attraverso le
componenti del momento della quantità di moto L′i nel sistema solidale. Dalla lagrangiana
2
2
2
L = 12 (Jx ωx′ + Jy ωy′ + Jz ωz′ ), tenendo conto che L′k = Jk ωk′ , si ottiene
3
3
X
X ∂ω ′
∂L
∂ωi′
pk =
Ji ωi′
L′i i
=
=
∂ q̇k
∂
q̇
∂ q̇k
k
i=1
i=1
(9.6.1)
e usando (8.2.17) si ricava
pθ = L′x cos ψ − L′y sin ψ
pφ = L′x sin θ sin ψ + L′y sin θ cos ψ + L′z cos θ
(9.6.2)
pψ = L′z
Le componenti di L in entrambi i riferimenti si esprimono attraverso gli angoli di Eulero
ed i loro momenti coniugati



pθ
Lx
 Ly  = Rz (−φ)Rx (−θ)  pφ − pψ cos θ 
sin θ
Lz
pψ
(9.6.4)
L’hamiltoniana del sistema assume la forma



pθ
L′x
 L′y  = Rz (ψ)  pφ − pψ cos θ  ,
sin θ
L′z
pψ


2
2
2
2
L′y
L′x
pφ − pψ cos θ
L′z
1
H=
+
+
=
sin ψ + pθ cos ψ +
2Jx
2Jy
2Jz
2Jx
sin θ
2
p2ψ
pφ − pψ cos θ
1
cos ψ − pθ sin ψ +
2Jy
sin θ
2Jz
(9.6.5)
ed il momento della quantità di moto totale è dato da
L2 =
(pφ − pψ cos θ)2
+ p2ψ + p2θ
2
sin θ
(9.6.6)
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9.6. Formulazione hamiltoniana
217
Corpo con asse di simmetria
Se il corpo ha struttura giroscopica, detto z ′ l’asse di simmetria per cui Jx = Jy l’hamiltoniana diventa
p2ψ 1
p2ψ
1
(pφ − pψ cos θ)2
L2
1
2
H=
=
+
−
(9.6.7)
+ pθ +
2Jx
2Jz
2Jx
2 Jz
Jx
sin2 θ
Oltre ad H gli integrali primi sono L, pφ pψ . L’angolo θ è periodico e φ è monotono se il
cono descritto da z ′ contiene l’asse z, vedi figura 9.6.1; se invece l’asse z è esterno al cono,
θ e φ sono periodici con lo stesso periodo. Nel primo caso infatti φ aumenta di 2π mentre
θ ritorna al valore iniziale, quando z ′ descrive la circonferenza sulla sfera, nel secondo caso
entrambi ritornano al loro valore iniziale.
La soluzione θ(t) è una funzione periodica di t che oscilla tra due valori θ− e θ+ , corrispondenti ai due paralleli, che delimitano la traiettoria dell’asse di simmetria. Infatti posto
u = cos θ, da (9.6.7) segue u soddisfa l’equazione u̇ = P (u) dove P (u) è un polinomio
di grado 2 i cui zeri u± = cos θ± sono i due punti di inversione del moto. L’angolo φ
che soddisfa la equazione (9.5.12), è somma di una funzione lineare in t e di una funzione
periodica con lo stesso periodo di θ(t).
La scelta dell’asse z lungo L rende θ costante e φ lineare in t, eliminando i problemi
derivanti dalla parametrizzazione della circonferenza fuori asse.
ω
z
z
L
z’
z’
ω
L
Figura 9.6.1.
!!!!
!!!!
!!!!
Orbita dell’asse z ′ sulla sfera unitaria: L×ez =0 (lato sinistro), L×ez 6=0 (lato destro).
218
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9. Corpo rigido
Allineamento con il momento angolare
La scelta dell’asse z lungo L consente una semplice soluzione analitica anche per il moto
di un corpo senza simmetria Jx < Jy < Jz . Infatti in questo caso si ha pφ = Lz = L, pψ =
L′z = L cos θ e sostituendo pψ = pφ cos θ in (9.6.6) si trova L2 = p2φ + p2θ che implica pθ = 0.
Allo stesso risultato si perviene notando che pθ è la proiezione di L lungo la linea dei nodi,
ad esso ortogonale. L’hamiltoniana (9.6.5) assume quindi la forma seguente
p2φ sin2 θ
H=
2
sin2 ψ cos2 ψ
+
Jx
Jy
p2ψ
p2φ − p2ψ
+
=
2Jz
2
sin2 ψ cos2 ψ
+
Jx
Jy
p2ψ
+
2Jz
(9.6.8)
Siccome pφ è un integrale primo, l’hamiltoniana per ψ è simile a quella di un pendolo e se ne
può tracciare il ritratto di fase nel piano ψ, pψ . I punti critici sono pψ = 0, ψ = 0, π/2, π
dove il primo ed il terzo sono iperbolici e corrispondono a rotazioni attorno all’asse y ′ ,
mentre il secondo è ellittico e corrisponde alla rotazione attorno all’asse x′ . Per verificarlo
è sufficiente valutare il gradiente di H
∂H
= pψ
∂ψ
1
sin2 ψ cos2 ψ
−
−
Jz
Jx
Jy
,
∂H
sin(2ψ) 2
=
(pφ − p2ψ )
∂ψ
2
1
1
−
Jx
Jy
(9.6.9)
e l’hessiano di H che è diagonale nei punti critici ove vale ∂ 2 H/∂p2ψ = (Jz−1 − Jy−1 ) e
∂ 2 H/∂ψ 2 = p2φ (Jx−1 − Jy−1 ) se ψ = 0, π, mentre è dato da ∂ 2 H/∂p2ψ = (Jz−1 − Jx−1 ) e
∂ 2 H/∂ψ 2 = p2φ (Jy−1 − Jx−1 ) se ψ = π/2. Nel primo caso H ha una sella nel secondo
un massimo. Notiamo inoltre che pψ = pφ cos θ = 0 implica θ = π/2 e quindi l’asse z ′
appartiene al piano x, y. Siccome φ è l’unico angolo che varia, la rotazione avviene attorno
all’asse z; se ψ = 0 si ha z = y ′ poiché l’asse dei nodi OL coincide con x′ , se invece
ψ = π/2, l’asse dei nodi è ortogonale a x′ e quindi z = x′ . Se x fosse l’asse con il momento
di inerzia massimo anziché minimo, H avrebbe un minimo anziché un massimo.
Quando il corpo ha un asse z ′ di simmetria l’hamiltoniana diventa
p2ψ
p2φ
+
H=
2Jx
2
1
1
−
Jz
Jx
(9.6.10)
e coincide con (9.6.7). Le frequenze ψ̇ di rotazione attorno all’asse di simmetria, φ̇ di
precessione attorno all’asse z, risultano in accordo con (9.5.7), tenuto conto che pφ =
L, pψ = L′z . L ’angolo θ e le frequenze φ̇, ψ̇ si esprimono attraverso l’energia E ed il
momento angolare totale L ricordando che pψ = L cos θ
Jz − 2EL−2 Jz Jx
,
cos θ =
Jz − Jx
2
dove 2EL−2 varia tra Jz−1 e Jx−1 .
L
φ̇ =
.
Jx
ψ̇ = L cos θ
1
1
−
Jz
Jx
(9.6.11)
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9.6. Formulazione hamiltoniana
219
Angoli di Deprit
Gli angoli di Deprit α, β, γ che consentono una scelta unica degli assi del sistema fisso,
qualunque sia la direzione di L sono definiti nella figura 9.6.2
z
L
z’
γ
BBBBBBBBBBBBBBBBy’
BBBBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBBBBQ
BBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
O
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
y
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
αBBB
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
β
γ
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
BBB
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
BBB
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
BBB
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
M
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
x CCCCCCCCCCC
x’
BBBBBBBBBBBBBBBB
N
L
CCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBy’
BBBBBBBBBBB
O
O
BBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCC
y
BBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCC
BBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCC
CCC
φ
BBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCC
CCC
ψ
BBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCC
x
BBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCC !!!!
!!!!BBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCC
M L
!!!!
BBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCC !!!!
x’
L
N
!!!!
!!!!
BBBBBBBBBBB
Figura 9.6.2.
Angoli di Deprit e relazione con angoli di Eulero.
Consideriamo la retta OM perpendicolare all’asse z e ad L e la retta ON perpendicolare a
z ′ e L ed indichiamo con eM , eN i versori rispettivi. Gli angoli α, γ, β sono quelli formati
dalle rette x, OM ; ON, x′ ; OM, ON rispettivamente. Indicando con
eM =
ez × L
,
||ez × L||
eN =
L × e′z
,
||L × e′z ||
(9.6.12)
i versori degli assi OM e ON si ha
cos α = ex · eM ,
cos β = eM · eN
cos γ = e′x · eN ,
(9.6.13)
220
c 88-08- 9820
9. Corpo rigido
Usando l’identità vettoriale (a ×b)· (c ×d) = (a · c)(b · d)−(a · d)(b · c) possiamo esprimere
gli angoli di Deprit attraverso gli angoli di Eulero ed i loro momenti coniugati.
cos α = − q
cos β = p
cos γ = q
Ly
L2x + L2y
= −p
Ly
L2 − L2z
Lz L′z − L2 cos θ
q
L2 − L2z L2 − L′z 2
(9.6.14)
L′y
L2 − L′z 2
Si noti che Lz = pφ , L′z = pψ , e che L′y , Ly sono espresse attraverso gli angoli di Eulero
ed i loro momenti coniugati da (9.6.4). Per avere le trasformazioni inverse osserviamo che
l’asse x e le rette OM, OL sono su uno stesso piano e quindi φ − α e l’angolo tra OM e
OL; anche le rette OL, ON e l’asse x′ sono su uno stesso piano e ψ − γ è l’angolo tra OL
e ON , vedi figura 9.6.2. Essendo il versore dell’asse OL dato da eL = ez × e′z | sin θ|−1 si
ha
s
r
′
2
Lx
L′z 2
Lz Lz
cos θ =
− cos β 1 − 2 1 − 2
L2
L
L
′
Lz − Lz cos θ
p
cos(φ − α) = eL · eM =
(9.6.15)
| sin θ| L2 − L2z
Lz − L′z cos θ
q
cos(ψ − γ) = eL · eN =
| sin θ| L2 − L′z 2
dove la prima equazione si ottiene invertendo la seconda equazione in (9.6.14). Per esprimere H in funzione degli angoli α, β, γ e dei loro momenti coniugati, Lz , L, L′z , si noti che
il piano formato da L e z ′ interseca il piano x′ y ′ lungo la retta OQ, che forma un angolo γ
2
con l’asse y ′ e π/2 − γ con l’asse x′ . La proiezione di L lungo OQ ha modulo (L2 − L′z )1/2 ,
per cui
q
q
L2 − L′z 2 sin γ,
L′x =
L′y = −
L2 − L′z 2 cos γ
(9.6.16)
e l’hamiltoniana si scrive
2
L′
L2 − L′z
H= z +
2Jz
2
2
sin2 γ
cos2 γ
+
Jx
Jy
(9.6.17)
in accordo con (9.6.8). I momenti coniugati di α, β, γ sono Lz , L, L′z in quanto componenti
del momento angolare lungo i rispettivi assi di rotazione, secondo il teorema di Nöther,
enunciato nella versione hamiltoniana nel paragrafo 15.6. La rappresentazione delle rotazioni tra riferimenti, definita dagli angoli di Deprit o di Eulero, fornisce una carta della
della varietà a 3 dimensioni che definisce le configurazioni del corpo rigido. Questa varietà
va rappresentata su almeno due carte compatibili, date dagli angoli di Deprit (α, γ, β) e
(α′ , γ ′ , β ′ ) riferiti a due diversi sistemi fissi.
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