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Caso vettoriale. Funzioni quasi-convesse, policonvesse, convesse

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Caso vettoriale. Funzioni quasi-convesse, policonvesse, convesse
CAPITOLO 5
Caso vettoriale.
Funzioni quasi-convesse, policonvesse,
convesse di rango uno e loro relazioni
Il teorema 4.3.4 e il corollario 4.3.6 sono relativi anche al caso vettoriale
(cioè le funzioni ammissibili sono definite in un aperto Ω di Rn a valori in
RN , con n ≥ 1, N ≥ 1). Possiamo schematizzare la relazione tra convessità
e sequenziale semicontinuità inferiore nel seguente modo:
sia F : Ω × RN × Rν → R una Lagrangiana,
F (x, u, v) convessa in v
ˆ
teor. 4.3.4
=⇒ F[u, v] =
F (x, u(x), v(x)) dx seq. s.c.i. in
Ω
?
L1loc (Ω, RN )forte × L1loc (Ω, Rν )debole ⇒ F (x, u, v) convessa in v;
sia F : Ω × RN × Rn×N → R una Lagrangiana,
F (x, u, p) convessa in p := ∇u
ˆ
cor. 4.3.6
1,m
=⇒ F[u] =
F (x, u(x), ∇u(x)) dx seq. deb. s.c.i. in Wloc
(Ω, RN ),
Ω
?
m ≥ 1 =⇒ F (x, u, p) convessa in p.
La convessità di F (x, u, v) rispetto a v è anche necessaria per la semicontinuità inferiore di F[u, v] (vedi successivo teorema 5.1.1), mentre è necessaria per la semicontinuità inferiore di F[u] solo se n = 1 con N ≥ 1 o
N = 1 con n ≥ 1. Nel caso generale n > 1 e N > 1 è verificata per F[u]
la condizione naturale (strettamente più debole rispetto alla convessità) di
“quasi-convessità” (nel senso di Morrey, 1952).
Quindi nel caso n = 1 o N = 1 il corollario 4.3.6 è ottimale, nel senso
che l’ipotesi di convessità della Lagrangiana F (x, u, p) rispetto a p è anche
necessaria
ˆ per la semicontinuità inferiore del funzionale
F[u] =
F (x, u(x), ∇u(x)) dx rispetto alla convergenza debole in
Ω
93
94
M. Carriero, L. De Luca
1,m
Wloc
(Ω, RN ), m ≥ 1; nel caso n > 1 con N > 1 esistono funzionali integrali,
di notevole interesse nella teoria della elasticità non-lineare (cfr. cap. 6),
che sono s.c.i. senza che la Lagrangiana sia convessa rispetto alla matrice
p = piα i=1,··· ,N .
α=1,··· ,n
5.1. Condizioni necessarie per la semicontinuità inferiore dei
ˆ funzionali
F [u, v] :=
F (x, u(x), v(x)) dx e
ˆΩ
F [u] :=
F (x, u(x), ∇u(x)) dx.
Ω
Cominciamo col dimostrare che la convessità di F (x, u, v) rispetto a v è
necessaria per la semicontinuità inferiore di F[u, v].
Teorema 5.1.1. Siano Ω un aperto di Rn e F (x, u, v) una funzione di
Carathéodory in Ω × RN × Rν con F (·, u, v) localmente sommabile in Ω per
ogni (u, v). Se per ogni u ∈ RN il funzionale
ˆ
Fu [v] =
F (x, u, v(x)) dx
Ω
ν
è s.c.i. nella topologia debole* di L∞
loc (Ω, R ) rispetto alla variabile v, allora
F (x, u, ·) è convessa per q.o. x ∈ Ω e per ogni u ∈ RN .
Dim. Sia x0 ∈ Ω e sia Y ⊂ Ω un cubo con centro in x0 . Per ogni λ ∈ [0, 1]
si può trovare una successione χEh , di funzioni caratteristiche di insiemi
misurabili Eh ⊂ Y , tale che
∗
χEh * λχY .
Siano a, b ∈ Rν , u ∈ RN e poniamo

 aχEh + b(1 − χEh )
vh :=

0
in Y
in Ω \ Y
e
v :=

 aλ + b(1 − λ)

0
in Y
in Ω \ Y .
Introduzione al CALCOLO DELLE VARIAZIONI
Abbiamo
95
ˆ
Fu [vh ] − Fu [v]
[F (x, u, aχEh + b(1 − χEh )) − F (x, u, aλ + b(1 − λ))] dx
ˆ
ˆ
=
χEh F (x, u, a) dx +
(1 − χEh ) F (x, u, b) dx
Y
Y
ˆ
−
F (x, u, aλ + b(1 − λ)) dx.
=
Y
Y
Nell’ultima uguaglianza abbiamo tenuto conto del fatto che le χEh sono
funzioni caratteristiche.
Quindi, tenuto conto dell’ipotesi di semicontinuità inferiore per Fu [·] rispetν
to alla convergenza debole* di L∞
loc (Ω, R ), per h → +∞:
0 ≤ lim inf Fu [vh ] − Fu [v]
h→+∞
ˆ
ˆ
= λ
F (x, u, a) dx + (1 − λ)
F (x, u, b) dx
Y
ˆY
−
F (x, u, aλ + b(1 − λ)) dx.
Y
Allora, dividendo per |Y |, risulta
ˆ
λ
F (x, u, a) dx +
0≤
|Y | Y
−
ˆ
(1 − λ)
F (x, u, b) dx
|Y |
Y
ˆ
1
F (x, u, aλ + b(1 − λ)) dx,
|Y | Y
e facendo tendere a zero il lato di Y , otteniamo (poiché F (·, u, v) è localmente sommabile in Ω)
0 ≤ λF (x0 , u, a) + (1 − λ)F (x0 , u, b) − F (x0 , u, aλ + b(1 − λ))
per quasi ogni x0 ∈ Ω (x0 punto di Lebesgue di F (·, u, v)), ossia
F (x0 , u, aλ + b(1 − λ)) ≤ λF (x0 , u, a) + (1 − λ)F (x0 , u, b)
(5.43)
per q.o. x0 ∈ Ω e per ogni u ∈ RN , che esprime la convessità di F (x, u, ·).
A priori l’insieme (sottoinsieme di Ω) di misura nulla per il quale (5.43) non
sussiste può dipendere da λ ∈ [0, 1], u ∈ RN , a e b ∈ Rν .
Possiamo però trovare degli insiemi numerabili densi J ⊂ [0, 1], E ⊂ RN ,
A ⊂ Rν e un insieme Ω0 ⊂ Ω con |Ω0 | = 0 tali che la (5.43) valga per ogni
λ ∈ J, u ∈ E, per ogni a, b ∈ A e per ogni x ∈ Ω \ Ω0 .
Possiamo inoltre supporre F (x, ·, ·) continua per ogni x ∈ Ω \ Ω0 (per ipotesi
F (x, u, v) è una Lagrangiana di Carathéodory).
96
M. Carriero, L. De Luca
Possiamo ora approssimare ogni λ ∈ [0, 1], u ∈ RN , a e b ∈ Rν con successioni λh ∈ J, uh ∈ E, ah e bh ∈ A. Scrivendo la (5.43) per questi ultimi, e
passando al limite per h → +∞ otteniamo la tesi.
Osservazione 5.1.2. Osserviamo che la convergenza nella topologia deν
bole* di L∞
loc (Ω, R ) implica la convergenza nella topologia debole di
1
ν
Lloc (Ω, R ). Ne segue che il teorema 5.1.1, insieme al teorema 4.3.4, forniscono una condizione necessaria e sufficiente per la semicontinuità inferiore
di funzionali del tipo
ˆ
F[u, v] =
F (x, u(x), v(x)) dx.
Ω
Osservazione 5.1.3. Nel teorema 5.1.1 le funzioni u(x)(≡ u) e v(x) sono
completamente indipendenti tra loro. Per i funzionali del tipo
ˆ
F[u] =
F (x, u(x), ∇u(x)) dx
Ω
risulta invece v(x) = ∇u(x). Se lasciamo inalterata la convergenza nella
n×N
topologia debole* di L∞
) per le funzioni vh (x) = ∇uh (x),
loc (Ω, R
si avrà ||∇uh ||L∞ (Ω,Rn×N ) ≤ c, e di conseguenza non sarà restrittivo supporre che la successione {uh } converga uniformemente, dato che qualsiasi
altra convergenza più debole si ridurrebbe a questa per il teorema di AscoliArzelà. In definitiva possiamo supporre che il funzionale F[u] sia s.c.i.
rispetto a successioni convergenti nella topologia debole* di
W 1,∞ (Ω, RN ) = Lip(Ω, RN ) = C 0,1 (Ω, RN ).
D’altra parte il legame vh (x) = ∇uh (x) restringe la scelta delle possibili
vh * v (contrariamente a quanto visto nel teorema 5.1.1), e quindi la convessità in v, necessaria per F[u, v], potrebbe non esserlo più per il funzionale
F[u].
Osserviamo che, se Ω è limitato,
∗
uh −→ u in W 1,∞ (Ω, RN ) =⇒ uh * u in W 1,m (Ω, RN ) per ogni m ≥ 1.
Una condizione necessaria per la semicontinuità inferiore di F[u] è data dal
seguente teorema (in cui preliminarmente la Lagrangiana F dipende solo da
∇u)
Teorema 5.1.4. Siano Ω ⊂ Rn aperto limitato e F : Rn×N → R una
Lagrangiana continua, e supponiamo che il funzionale
ˆ
F[u] =
F (∇u(x)) dx
Ω
sia seq. s.c.i. nella topologia debole* di W 1,∞ (Ω, RN ). Allora per ogni
funzione ϕ ∈ C01 (Ω, RN ) (anche ϕ ∈ W01,∞ (Ω, RN ), per la continuità di F )
Introduzione al CALCOLO DELLE VARIAZIONI
e per ogni p0 ∈ Rn×N si ha
97
ˆ
|Ω|F (p0 ) ≤
F (p0 + ∇ϕ(x)) dx.
(5.44)
Ω
In particolare, se n = 1 ed N ≥ 1, oppure N = 1 ed n ≥ 1 la Lagrangiana
F (p) è convessa in p.
Dim. Sia Y un cubo n-dimensionale che contiene Ω, e che a meno di camn
biamento di variabili possiamo supporre essere il cubo unitario [0, 1] . Sia
1
N
ϕ ∈ C0 (Ω, R ); estendiamo la ϕ prima assegnandole il valore 0 in Y \ Ω,
e poi estendendola periodicamente in Rn con periodo uguale a uno in ogni
variabile
ϕ(x1 , · · · , xn ) = ϕ({x1 }, · · · , {xn })
dove con {a} è indicata la parte frazionaria di a.
Per ogni h ∈ N e per ogni x ∈ Rn poniamo
ϕh (x)
uh (x)
1
ϕ(hx)
h
= p0 x + ϕh (x),
=
con p0 ∈ Rn×N .
1
∗
Evidentemente uh −→ p0 x in W 1,∞ Ω, RN (poiché da |ϕh (x)| ≤ kϕkL∞ (Rn ,RN )
h
∀x ∈ Rn segue ϕh ⇒ 0, e k∇ϕh kL∞ (Rn ,Rn×N ) = k∇ϕkL∞ (Rn ,Rn×N ) per ogni h ∈ N), e dunque per l’ipotesi di sequenziale semicontinuità inferiore
rispetto alla debole∗ -convergenza in W 1,∞ Ω, RN , abbiamo:
ˆ
ˆ
|Y | F (p0 ) =
F (p0 ) dx ≤ lim inf
F (p0 + ∇ϕh (x)) dx.
(5.45)
Y
h→+∞
Y
Osservato che ∇ϕh (x) = ∇ϕ(hx), dopo il cambio di variabili y = hx,
otteniamo:
ˆ
ˆ
−n
F (p0 + ∇ϕh (x)) dx = h
F (p0 + ∇ϕ(y)) dy
Y
hY =[0,h]n
ˆ
=
F (p0 + ∇ϕ(x)) dx
(5.46)
Y
(perché essendo ϕ periodica di periodo 1, l’integrale su hY è uguale ad hn
volte l’integrale su Y ).
Da (5.46) e da (5.45) segue la tesi, tenuto conto che il supporto di ϕ è
contenuto in Ω.
Per completare la dimostrazione del teorema consideriamo il caso n = 1 ed
N ≥ 1.
98
M. Carriero, L. De Luca
Sia allora Ω = (0, 1) e p0 = λp1 + (1 − λ)p2 con p1 , p2 ∈ RN e λ ∈ (0, 1).
Sia u ∈ W 1,∞ (0, 1), RN = Lip (0, 1), RN tale che
p1 se x ∈ [0, λ]
u0 (x) =
p2 se x ∈ [λ, 1].
Ovviamente
ˆ
u(1)
1
u0 (x) dx
= u(0) +
0
ˆ
ˆ
λ
= u(0) +
1
p1 dx +
0
p2 dx
λ
= u(0) + p0 .
Perciò, se definiamo ϕ(x) :=u(x) − u(0) − p0 x, abbiamo ϕ(0) = ϕ(1) = 0 e
quindi ϕ ∈ W01,∞ (0, 1), RN .
Ne segue per la (5.44)
ˆ
1
F (u0 (x)) dx
F (λp1 + (1 − λ)p2 ) = F (p0 ) ≤
0
ˆ
=
ˆ
λ
1
F (p1 ) dx +
0
F (p2 ) dx
λ
= λF (p1 ) + (1 − λ)F (p2 ).
Un argomento simile vale se N = 1 ed n ≥ 1.
Più in generale vale il seguente teorema:
Teorema 5.1.5 (Morrey, 1952).
Sia Ω ⊂ Rn aperto limitato, e sia F : Ω×RN ×Rn×N → R una Lagrangiana
continua, e supponiamo che il funzionale
ˆ
F[u] =
F (x, u(x), ∇u(x)) dx
Ω
sia seq. s.c.i. nella topologia debole∗ di W 1,∞ Ω, RN . Allora per ogni
funzione ϕ ∈ C01 (Ω, RN ) (anche ϕ ∈ W01,∞ (Ω, RN )) e per ogni x0 ∈ Ω,
u0 ∈ RN e p0 ∈ Rn×N si ha
ˆ
|Ω|F (x0 , u0 , p0 ) ≤
F (x0 , u0 , p0 + ∇ϕ(x)) dx.
Ω
In particolare, se n = 1 ed N ≥ 1, oppure N = 1 ed n ≥ 1 la Lagrangiana
F (x, u, p) è convessa in p per ogni fissato x0 ∈ Ω e u0 ∈ RN .
Alla luce del teorema precedente diamo la seguente definizione.
Introduzione al CALCOLO DELLE VARIAZIONI
99
Definizione 5.1.6. Una funzione F (x, u, p) continua e verificante la condizione
ˆ
|Ω|F (x0 , u0 , p0 ) ≤
F (x0 , u0 , p0 + ∇ϕ(x)) dx
(5.47)
Ω
N
per ogni (x0 , u0 , p0 ) ∈ Ω × R × Rn×N e per ogni ϕ ∈ C01 (Ω, RN ) (anche
ϕ ∈ W01,∞ Ω, RN , per la continuità di F ) si dice quasi-convessa (nel senso
di Morrey).
Osservazione 5.1.7. Notiamo che x e u svolgono il ruolo di parametri
nella (5.47); pertanto talvolta ometteremo di indicare esplicitamente la
dipendenza da x e u e useremo per F quasi-convessa la notazione F = F (p).
Carattere variazionale della nozione
di quasi-convessità.
Sia u(x) = p0 x + ϕ(x) con ϕ ∈ C01 Ω, RN , allora la (5.47) diviene
ˆ
ˆ
F (∇u(x)) dx ≥
F (p0 ) dx
Ω
per ogni p0 ∈ R
n×N
Ω
1
N
, u ∈ C (Ω, R ) con u = p0 x.
∂Ω
Questo significa che
ˆ
F quasi-convessa
⇔
F (∇u(x)) dx; u ∈ C
min
1
Ω, R
N
Ω
, u = p0 x
∂Ω
è assunto in u0 (x) = p0 x ∀p0 ∈ Rn×N .
Osservazione 5.1.8. Tramite dilatazioni dell’insieme, si riconosce che la
definizione di quasi-convessità non dipende da Ω.
Osservazione 5.1.9. La quasi-convessità è strettamente più debole della
convessità.
Sussiste infatti la seguente
Proposizione 5.1.10. Sia F = F (x, u, p) : Ω × RN × Rn×N → R. Allora
F (x, u, p) convessa in p
F (x, u, p) convessa in p
⇒ F (x, u, p) quasi-convessa
: n > 1 e N > 1, F (x, u, p) quasi-convessa.
Dim. Usando la disuguaglianza di Jensen 1.5.4:
ˆ
1
F (x0 , u0 , p0 ) = F
(x0 , u0 , p0 + ∇ϕ(x)) dx
|Ω| Ω
ˆ
1
≤
F (x0 , u0 , p0 + ∇ϕ(x)) dx
|Ω| Ω
100
M. Carriero, L. De Luca
per ogni x0 ∈ Ω, u0 ∈ RN , p0 ∈ Rn×N e ϕ ∈ C01 (Ω, RN ), dove la prima
uguaglianza è ottenuta integrando per parti e sfruttando il fatto che ϕ è
nulla sulla frontiera di Ω.
Proviamo ora che la quasi-convessità è strettamente più debole della convessità.
Esempio 5.1.11. Sia n = N = 2 e sia F (p) = det p = p11 p22 − p12 p21 dove
p=
p11
p21
p12
p22
.
Allora F (p) non è convessa, ma è quasi-convessa in p.
Infatti, siano
p=
1
0
0
0
, q=
0
0
0
1
,
allora
λF (p) + (1 − λ)F (q) = 0 ∀λ ∈]0, 1[,
mentre
F (λp + (1 − λ)q) = λ(1 − λ) > 0.
Pertanto F (p) non è convessa.
Proviamo ora che F (p) è quasi-convessa.
Infatti, per ogni u = (u1 , u2 ) ∈ C 2 (Ω, R2 ) (∂Ω lipschitziana), essendo
∇u =
u1x1
u2x1
u1x2
u2x2
,
abbiamo l’identità
F (∇u) = det ∇u = u1x1 u2x2 − u1x2 u2x1 = (u1 u2x2 )x1 − (u1 u2x1 )x2
(cioè il determinante della matrice gradiente può sciversi come una divergenza; in generale cfr. (6.59)).
Introduzione al CALCOLO DELLE VARIAZIONI
101
Allora, per il teorema della divergenza 1.1.17, otteniamo:
ˆ
ˆ
1
det ∇u(x) dx =
ux1 (x) u2x2 (x) − u1x2 (x) u2x1 (x) dx
Ω
ˆΩ h
i
=
u1 (x) u2x2 (x) x1 − u1 (x) u2x1 (x) x2 dx
ˆΩ
=
u1 (ξ) u2x2 (ξ), −u1 (ξ) ux1 (ξ) · (ν1 (ξ), ν2 (ξ)) dH1 (ξ)
ˆ∂Ω
=
u1 (ξ) u2x2 (ξ)ν1 (ξ) − u2x1 (ξ)ν2 (ξ) dH1 (ξ)
ˆ∂Ω
=
u1 (ξ) u2x1 (ξ), u2x2 (ξ) · (−ν2 (ξ), ν1 (ξ)) dH1 (ξ)
ˆ∂Ω
=
u1 (ξ)∇u2 (ξ) · τ (ξ) dH1 (ξ)
∂Ω
ˆ
∂u2
(ξ) dH1 (ξ)
=
u1 (ξ)
∂τ
∂Ω
dove τ (ξ) = (−ν2 (ξ), ν1 (ξ)) è il versore tangente
ˆ alla frontiera di Ω (orientato
det ∇u(x) dx dipende solo
in maniera opportuna). Dunque il valore di
Ω
dai valori di u su ∂Ω. Se scegliamo u(x) = p0 x + ϕ(x) con p0 ∈ R2×2 e
ϕ ∈ C02 (Ω, R2 ), abbiamo
ˆ
ˆ
det(p0 + ∇ϕ(x)) dx =
Ω
det p0 dx = |Ω| det p0 .
Ω
Questa uguaglianza può essere estesa per continuità ad ogni ϕ ∈ C01 (Ω, R2 ),
e dunque F (p) è quasi-convessa.
Osservazione 5.1.12. In generale, se n = N , la Lagrangiana F (p) = det p
non è convessa
ma è quasi-convessa, in quanto il valore del funzionale
´
F[u] = Ω det ∇u(x) dx dipende solo dai valori al bordo di u. Lo stesso
risultato (senza che sia necessariamente n = N ) vale se si sostituisce il
determinante con un qualsiasi minore della matrice ∇u. Lagrangiane di
questo tipo si dicono “Lagrangiane nulle”(cfr. cap. 6).
La quasi-convessità di una funzione è espressa con una condizione che non
è puntuale come nel caso delle funzioni convesse, ma è di tipo integrale,
pertanto in generale difficile da verificare perché coinvolge una stima su
tutto lo spazio W01,∞ Ω, RN .
Una sottoclasse particolarmente interessante di funzioni quasi-convesse è
costituita dalle funzioni policonvesse, intermedia tra le funzioni convesse e
le quasi-convesse.
102
M. Carriero, L. De Luca
Definizione 5.1.13 (Morrey, 1966; Ball, 1977 [5] [6]).
Sia p ∈ Rn×N e indichiamo con M (p) l’insieme dei minori (cioè i determinanti di tutte le sottomatrici quadrate di p) della matrice p = piα i=1,··· ,N .
α=1,··· ,n
Se L(M (p)) è una funzione convessa di M (p), la funzione F (p) = L(M (p))
si dice policonvessa.
1
p1 p12
Esempio 5.1.14. Se n = N = 2 e p =
, le funzioni policonp21 p22
vesse sono tutte e sole quelle del tipo
F (p) = L(p11 , p12 , p21 , p22 , det p) con L funzione convessa.
Osservazione 5.1.15. La convessità di F (x, u, p) in p ∈ Rn×N implica
la policonvessità di F (x, u, p) rispettoa p (si
possono considerare le singole
∂ui
, come minori di rango
componenti del gradiente, p = ∇u =
∂xα i=1,··· ,N
α=1,··· ,n
uno).
Per provare che esistono funzioni policonvesse che non sono convesse, basta
pensare nel caso n = N al determinante di p, ovvero ad un minore della
matrice p ∈ Rn×n .
Proposizione 5.1.16. Una funzione F (p) policonvessa è quasi-convessa in
p.
Dim. Sia F (p) = L(M (p)) con L convessa. Posto u(x) = p0 x con p0 ∈
Rn×N , per ogni ϕ ∈ C01 (Ω, RN ) abbiamo, per la disuguaglianza di Jensen
1.5.4,
ˆ
1
L(M (p0 + ∇ϕ(x))) dx
|Ω| Ω
ˆ
1
=
L(M (∇u(x) + ∇ϕ(x))) dx
(5.48)
|Ω| Ω
ˆ
1
≥
L
M (∇u(x) + ∇ϕ(x)) dx
|Ω| Ω
ˆ
1
oss. 5.1.12
=
L
M (∇u(x)) dx = L(M (p0 )),
|Ω| Ω
da cui segue la tesi.
Osservazione 5.1.17. Per un esempio di funzione quasi-convessa che non
è policonvessa rinviamo a [69].
Un’ultima e più debole forma di convessità è la cosiddetta convessità di
rango uno.
Introduzione al CALCOLO DELLE VARIAZIONI
103
Definizione 5.1.18. Una funzione F (x, u, p) definita in Ω × RN × Rn×N
si dice convessa di rango uno se per ogni (x0 , u0 , p0 ) ∈ Ω × RN × Rn×N la
funzione
g(ξ, η) = F (x0 , u0 , p0 + ξ ⊗ η) 1
è convessa separatamente in ξ ∈ Rn ed η ∈ RN .
Proposizione 5.1.19. Una funzione F (x, u, p) quasi-convessa rispetto a p
è convessa di rango uno.
Dim. Possiamo supporre F = F (p) e che (inizialmente) F ∈ C 2 (Rn×N ).
Poiché F è quasi-convessa
rispetto a p, le funzioni lineari minimizzano il
ˆ
funzionale F[u] =
F (∇u(x)) dx, pertanto prese
Ω
n×N
, funzione lineare e ϕ ∈ C01 (Ω, RN ), la funzione
ˆ
ˆ
G(t) = F[u + tϕ] =
F (∇u(x) + t∇ϕ(x)) dx =
F (p0 + t∇ϕ(x)) dx
u(x) = p0 x, p0 ∈ R
Ω
Ω
ha un minimo per t = 0. Abbiamo allora G0 (0) = 0 e G00 (0) ≥ 0 e dunque
ˆ
Fpk pj (p0 )Dα ϕk Dβ ϕj dx ≥ 0
∀ϕ ∈ C01 (Ω, RN ).
(5.49)
α
Ω
β
Se ora (permettiamo alla ϕ di assumere valori complessi)
ϕ(x) = λ(x) + iµ(x), otteniamo
Fpk pj (p0 ) Dα ϕk Dβ ϕj = Fpk pj (p0 ) Dα λk Dβ λj + Dα µk Dβ µj
α β
α β
+Fpk pj (p0 ) i Dα µk Dβ λj − Dα λk Dβ µj
α
β
e dunque per (5.49) risulta
ˆ
Re
Fpk pj (p0 ) Dα ϕk Dβ ϕj dx ≥ 0.
Ω
α
(5.50)
β
Scegliamo ora ϕ(x) = ηeiτ ξ·x γ(x), dove τ > 0, ξ ∈ Rn , η ∈ RN e
γ ∈ C0∞ (Ω, R). Dalla (5.50),poiché
Dα ϕk Dβ ϕj = η k · eiτ ξ·x · ξα iτ γ(x) + η k · eiτ ξ·x Dα γ(x)
× η j · e−iτ ξ·x ξβ (−iτ )γ(x) + η j e−iτ ξ·x Dβ γ(x) ,
otteniamo
ˆ
Ω
Fpk pj (p0 ) η k η j τ 2 ξα ξβ γ 2 + Dα γDβ γ dx ≥ 0.
α
β
1ricordato che una “matrice p ∈ Rn×N ha rango 1 se e solo se esistono ξ ∈ Rn , η ∈ RN
“
”
tali che p = ξ ⊗ η”, risulta piα = ξα η i
i=1,··· ,N
α=1,··· ,n
.
104
M. Carriero, L. De Luca
Dividendo per τ 2 e facendo tendere τ all’infinito abbiamo
ˆ
Fpk pj (p0 ) ξα ξβ η k η j γ 2 dx ≥ 0
per ogni γ ∈
Ω
C0∞ (Ω, R),
α
β
e quindi
Fpk pj (p0 ) ξα ξβ η k η j ≥ 0
(L − H)
α
(5.51)
β
per ogni ξ ∈ Rn ed η ∈ RN .
Quest’ultima disuguaglianza, che prende il nome di condizione di LegendreHadamard (cfr. osservazione 2.2.9), implica la convessità separata di
F ∈ C 2 (Rn×N ) in ξ ∈ Rn ed η ∈ RN .
Supponiamo ora che F = F (p) ∈ C 0 (Rn×N ) (cioè F sia solo continua) e sia
(per ε > 0) Fε la regolarizzata di F , cioè
ˆ
Fε (p) := (F ∗ ρε ) (p) =
F (p − q)ρε (q) dq,
Rn×N
q
e ρ ∈ C0∞ (Rn×N ).
dove ρε (q) = ε−nN ρ
ε
Siano p0 ∈ Rn×N , ϑ ∈ C01 (Ω, RN ); abbiamo
ˆ
ˆ
ˆ
Fε (p0 + ∇ϑ(x)) dx =
ρε (q)
F (p0 + ∇ϑ(x) − q) dx dq
n×N
Ω
Ω
ˆR
≥
ρε (q)|Ω|F (p0 − q) dq
Rn×N
= |Ω|Fε (p0 ),
ossia
ˆ
Fε (p0 + ∇ϑ(x)) dx ≥ |Ω|Fε (p0 ),
Ω
cioè Fε = Fε (p) ∈ C ∞ (Rn×N ) è quasi-convessa rispetto a p al pari di
F ∈ C 0 (Rn×N ). Per quanto già provato abbiamo allora che Fε è convessa
di rango uno, e passando al limite per ε → 0+ otteniamo che F è convessa
di rango uno.
Osservazione 5.1.20. Se F (p) p = piα i=1,2,...,N è quasi-convessa, posα=1,2,...,n 

p1α
 p2α 


siamo scrivere F (p) = F (p1 , p2 , . . . , pn ) dove pα =  .  è la α-esima
 .. 
pN
α
colonna di p.
Poiché F è convessa di rango uno, le funzioni pα 7→ F (p1 , . . . , pα , . . . , pn ), in
quanto convesse, sono localmente lipschitziane rispetto a pα uniformemente
al variare di p1 , . . . , pα−1 , pα+1 , . . . , pn su insiemi limitati.
Introduzione al CALCOLO DELLE VARIAZIONI
105
Ne concludiamo che una funzione quasi-convessa in p è localmente lipschitziana in p.
Osservazione 5.1.21. Sia F = F (p) ∈ C 2 (Rn×N ).
La convessità di F (p) è equivalente alla positività della matrice Hessiana
(condizione di Legendre)
(L)
Fpi
α
i j
pjβ (p) ζα ζβ
≥ 0 ∀p ∈ Rn×N , ∀ζ ∈ Rn×N .
La convessità di rango uno è equivalente alla condizione di LegendreHadamard
(L − H)
Fpi
α
pjβ (p) ξα ξβ η
i
η j ≥ 0 ∀p ∈ Rn×N ∀ξ ∈ Rn , ∀η ∈ RN ,
(che corrisponde alla scelta di ζ ∈ Rn×N , ζ = ξ ⊗ η nella (L)).
Chiaramente
(L) ⇒ (L − H),
ma, se n > 1 ed N > 1, allora
(L − H) ; (L).
Infatti sia n = N = 2 e definiamo (per ε > 0)
i
j
i
2
Aij
α β Dα u Dβ u := det(Dα u ) + ε |∇u| .
Allora
i j
2
2
2
2
(L − H) ⇐⇒ Aij
α β ξα ξβ η η = ε|ξ| |η| ≥ 0 ∀ξ ∈ R , η ∈ R
(in quanto det(ξα η i ) = 0 per n = N = 2); inoltre
i j
i
2
(L) ⇐⇒ Aij
α β ζα ζβ = det(ζα ) + ε|ζ| .
Ora per 0 < ε < 1 esiste ζ ∈ R2×2 tale che det(ζαi ) + ε|ζ|2 < 0.
−1 0
2
(e.g. , sia ζ =
; abbiamo det ζ = −1, |ζ| = 2 per cui
0 1
2
det ζ + ε |ζ| = −1 + 2ε < 0
per 0 < ε <
1
).
2
Riassumendo abbiamo la seguente catena di implicazioni:
convessità ⇒ policonvessità ⇒ quasi-convessità ⇒ convessità di
rango uno.
Osservazione 5.1.22. In generale, le implicazioni opposte non sussistono,
se non in situazioni particolari.
Comunque tutte le definizioni sono equivalenti se n = 1 oppure N = 1;
infatti, in questi casi la convessità di rango uno implica la convessità (dalla stessa definizione 5.1.18), e dunque tutte queste nozioni sono tra loro
equivalenti.
106
M. Carriero, L. De Luca
Osservazione 5.1.23. Esistono funzioni convesse di rango uno che non sono
quasi-convesse [70].
Osservazione 5.1.24. Un altro caso nel quale la convessità di rango uno
implica la quasi-convessità, è quello in cui la funzione F (p) è quadratica in
p, cioè
k j
F (p) = Akj
α β pα pβ
con Akj
α β = cost.
k j
Infatti, se F (p) = Akj
α β pα pβ è convessa di rango uno, posto p = ξ ⊗ η con
k j
ξ ∈ Rn ed η ∈ RN , risulta (cfr. osservazione 5.1.21) Akj
α β ξα ξβ η η ≥ 0.
Allora abbiamo:
ˆ
ˆ h
i
j
kj
k
k
j
F (p0 + ∇ϕ(x)) dx =
Akj
α β (p0 )α (p0 )β + Aα β Dα ϕ (x)Dβ ϕ (x) dx
Ω
Ω
≥
|Ω|F (p0 )
per ogni p0 ∈ Rn×N , ϕ ∈ C01 (Ω, RN ), dato che per il lemma 5.1.25 successivo
risulta
ˆ
k
j
Akj
α β Dα ϕ (x)Dβ ϕ (x) dx ≥ 0
Ω
per ogni ϕ ∈ C01 (Ω, RN ). Quindi una siffatta F (p) è quasi-convessa.
Più in generale, se invece della condizione
k j
Akj
α β ξα ξβ η η ≥ 0
per ogni ξ ∈ Rn , η ∈ RN
abbiamo
k j
2
2
Akj
α β ξα ξβ η η ≥ c|ξ| |η|
per ogni ξ ∈ Rn , η ∈ RN con c ≥ 0,
sussiste il seguente risultato:
Lemma 5.1.25. Sia A ∈ Rn×N una matrice costante verificante la condizione
k j
2
2
Akj
α β ξα ξβ η η ≥ c|ξ| |η|
per ogni ξ ∈ Rn , η ∈ RN
(5.52)
con c ≥ 0. Allora per ogni ϕ ∈ W01,2 (Ω, RN ) risulta
ˆ
ˆ
c
kj
k
j
|∇ϕ(x)|2 dx.
Aα β Dα ϕ (x) Dβ ϕ (x) dx ≥
4π 2 Ω
Ω
W 1,2 (Ω,RN )
è sufficiente provare la
Dim. Poiché W01,2 (Ω, RN ) = C01 (Ω, RN )
precedente disuguaglianza per ϕ ∈ C01 (Ω, RN ).
L’idea è di usare la trasformata di Fourier definita da
ˆ
[
ϕ(ξ)
b
=
e−2πix·ξ ϕ(x) dx, per cui D
b
α ϕ(ξ) = −2πiξα ϕ(ξ).
Rn
Introduzione al CALCOLO DELLE VARIAZIONI
Risulta
ˆ
107
ˆ
k
j
Dα ϕk Dβ ϕj dx
Dα ϕ Dβ ϕ dx =
ˆ
Ω
Ω
\
j
k \
D
α ϕ Dβ ϕ dξ
=
ˆ
Ω
=
ck (−2πiξβ ) ϕ
cj dξ
(−2πiξα ) ϕ
ˆ
2
ck ϕ
cj dξ,
4π
ξα ξβ ϕ
Ω
=
Ω
da cui, per α = β e k = j, ricaviamo
ˆ
ˆ
|∇ϕ(x)|2 dx = 4π 2
|ξ|2 |ϕ|
b 2 dξ.
Ω
(5.53)
Ω
D’altra parte, se nella (5.52) permettiamo al vettore η di assumere valori
complessi, η k = ρk + iλk , abbiamo:
k j
kj
k j
j k
k j
k j
Akj
α β ξα ξβ η η = Aα β ξα ξβ ρ ρ + λ λ + i(ρ λ − ρ λ )
e dunque, per (5.52), essendo
2
2
k j
Akj
αβ ξα ξβ ρ ρ ≥ c |ξ| |ρ| ,
2
2
k j
Akj
αβ ξα ξβ λ λ ≥ c |ξ| |ρ|
2
2
e
2
|η| = |ρ| + |λ|
deduciamo che
2
2
k j
Re Akj
α β ξα ξβ η η ≥ c|ξ| |η| .
Di conseguenza
ˆ
k
j
Akj
α β Dα ϕ Dβ ϕ dx
=
Ω
≥
per (5.53)
=
ˆ
ck cj
Re
Akj
α β ξα ξβ ϕ ϕ dξ
Ω
ˆ
c
|ξ|2 |ϕ|
b 2 dξ
Ω
ˆ
c
|∇ϕ(x)|2 dx.
4π 2 Ω
108
M. Carriero, L. De Luca
5.2. Condizioni sufficienti per la debole semicontinuità inferiore
in ipotesi di quasi-convessità:
teoremi di Morrey, Marcellini, Acerbi-Fusco.
E’ naturale chiedersi se la quasi-convessità (oltre che condizione necessaria,
cfr. teoremi 5.1.4 e 5.1.5) sia anche sufficiente per dimostrare la semicontinuità inferiore in una topologia abbastanza debole da garantire l’esistenza
di minimi.
Parte dell’interesse sulla quasi-convessità risiede sui teoremi di debole sequenziale semicontinuità inferiore dovuti a Morrey (1952) [57], Marcellini
(1985) [54], Acerbi-Fusco (1984) [1], in ipotesi sempre meno restrittive.
Nei prossimi teoremi supponiamo sempre che Ω sia un aperto limitato di
Rn (n ≥ 1). Sussistono i seguenti risultati.
Teorema 5.2.1 (Morrey, 1952 [57]).
Se F : Rn×N → R è una Lagrangiana tale che
(i) F è quasi-convessa in p,
ˆ
allora il funzionale F [u] =
debole∗ di W 1,∞ (Ω, RN ).
F (∇u(x)) dx è seq. s.c.i. nella topologia
Ω
Dim. Sia {uh } una successione di W 1,∞ Ω, RN debolmente∗ convergente
ad una funzione u.
Non è restrittivo supporre che F sia positiva. Infatti essendo F localmente
limitata (osservazione 5.1.20) esiste una costante c tale che c ≤ F (∇uh (x))
per q.o. x ∈ Ω e per ogni h. Basta allora sostituire F con max {F + c, 0}.
L’idea della dimostrazione è di conseguire la tesi nel caso particolare u(x) =
up0 (x) = p0 x e poi di estendere il risultato al caso generale.
1. Allora, sia dapprima u(x) = up0 (x) = p0 x con p0 ∈ Rn×N , x ∈ Ω
e supponiamo anche che le funzioni ϕh (x) = uh (x) − up0 (x) abbiano
supporto compatto in Ω. Dall’ipotesi di quasi-convessità abbiamo
ˆ
F (p0 + ∇ϕ(x)) dx ≥ |Ω| F (p0 )
∀ϕ ∈ C01 Ω, RN
Ω
e anche, per la continuità di F , per ogni ϕ ∈ W01,∞ Ω, RN .
Quindi
ˆ
F [uh ]
= F [up0 + ϕh ] =
F (p0 + ∇ϕh (x)) dx
Ω
≥
|Ω| F (p0 ) = F [up0 ] ,
Introduzione al CALCOLO DELLE VARIAZIONI
109
da cui segue la tesi.
2. In questo secondo passo supponiamo soltanto che u(x) = up0 (x) = p0 x
con p0 ∈ Rn×N , x ∈ Ω.
Sia Ω0 ⊂⊂ Ω e sia ψ una funzione di taglio, ψ ∈ C0∞ (Ω), 0 ≤ ψ ≤ 1 in
Ω, ψ = 1 in Ω0 .
Definita la successione di funzioni
ϕh (x) = ψ(x)uh (x) + (1 − ψ(x)) up0 (x),
abbiamo, per il passo 1.,
ˆ
F [up0 ] ≤ F [ϕh ] =
F (ψ∇uh + (1 − ψ)p0 + (uh − up0 )∇ψ) dx
Ω
≤
F[uh ] + c |Ω \ Ω0 | ,
da cui otteniamo la tesi facendo tendere prima Ω0 ad
Ω.
3. Sia infine u un’arbitraria funzione in W 1,∞ Ω, RN e sia v una funzione affine a tratti tale che k∇v − ∇ukL1 (Ω,Rn×N ) ≤ ε.
Consideriamo la successione vh = uh − u + v che converge a v nella
topologia debole∗ di W 1,∞ Ω, RN . Quindi, per quanto già provato
nel punto 2. (osservato che il risultato conseguito nei primi due passi
per funzioni lineari si estende al caso di funzioni affini a tratti),
F[v] ≤ lim inf F[vh ].
h→∞
Poiché F è localmente lipschitziana (osservazione 5.1.20), abbiamo
ˆ
|F [uh ] − F [vh ]| ≤
|F (∇uh ) − F (∇vh )| dx
Ω
ˆ
≤ c
|∇uh − ∇vh | dx
ˆΩ
= c
|∇u − ∇v| dx ≤ εc,
Ω
da cui segue la tesi.
Osservazione 5.2.2. I teoremi 5.1.4 e 5.2.1 dimostrano che la debole∗ se1,∞
quenziale
(Ω, RN ) del funzionale
ˆ semicontinuità inferiore in W
F [u] =
F (∇u(x)) dx è equivalente alla quasi-convessità di F .
Ω
Per assicurare la debole semicontinuità inferiore in W 1,m (1 ≤ m < ∞) sono
necessarie aggiuntive condizioni di crescita su F oltre alla quasi-convessità
[7].
Vale il seguente risultato, che si ottiene con alcune modifiche rispetto alla
dimostrazione del teorema 5.2.1.
Teorema 5.2.3 (Marcellini, 1985 [54]).
Se F : Rn×N → R è una Lagrangiana tale che
110
M. Carriero, L. De Luca
(i) F è quasi-convessa in p;
r
m
(ii) −c (1 + |p| ) ≤ F (p) ≤ c (1 + |p| )
n×N
per ogni p ∈ R
con c > 0, 1 ≤ r < m < ∞;
ˆ
allora il funzionale F [u] =
Ω
1,m
F (∇u(x)) dx è seq. deb. s.c.i. in Wloc
(Ω, RN ).
Il teorema precedente continua a valere anche quando la Lagrangiana F
dipende da x e da u. I risultati di Morrey e Marcellini sono stati estesi
da Acerbi e Fusco a Lagrangiane discontinue in x. Precisamente, vale il
seguente teorema più generale.
Teorema 5.2.4 (Acerbi-Fusco, 1984 [1]).
Sia F : Ω × RN × Rn×N → R una Lagrangiana tale che
(i) F (x, u, p) è di Carathéodory;
(ii) per ogni (x, u, p) ∈ Ω × RN × Rn×N
r
t
m
−c |p| + |u| − h(x) ≤ F (x, u, p) ≤ g(x, u) (1 + |p| )
nm
se
n−m
1
m < n, t ≥ 1 se m > n, c > 0, h ∈ L (Ω) e g ≥ 0 di Carathéodory in
Ω × RN ;
(iii) p 7→ F (x, u, p) è quasi-convessa in Rn×N .
con m > 1, 1 ≤ r < m (r = 1 se m∗ = 1), 1 ≤ t < m∗ =
ˆ
Allora il funzionale F [u] =
F (x, u(x), ∇u(x)) dx è seq. deb. s.c.i. in
Ω
1,m
Wloc
(Ω, RN ).
Una dimostrazione (pur sempre, non semplice) di questo teorema si basa
su più risultati preliminari, molti dei quali hanno un interesse in sé e per
questo motivo li segnaliamo qui, rinviando per la dimostrazione del teorema
5.2.4 a [37] cap. 5 paragrafi 5.3, 5.4 e 5.5.
• Il primo ingrediente è l’inviluppo quasi convesso di una funzione:
sia Ω ⊂ Rn aperto e sia G : Rn×N → [ 0, +∞); definiamo
G(p + ∇ϕ(x)) dx; ϕ ∈
γΩ (p)) := inf
W01,m
Ω, R
N
.
Ω
γΩ è invariante per omotetie e non dipende da Ω; pertanto scriveremo
semplicemente γ(p) invece di γΩ (p). Sotto opportune ipotesi per G,
γ è quasi-convessa.
Introduzione al CALCOLO DELLE VARIAZIONI
111
Lemma 5.2.5 ( [37]).
m
m
Sia ν |p| ≤ G(p) ≤ c (1 + |p| ) (ν > 0) ed esista ω : R → R continua
con ω(0) = 0 tale che
m
m
|G(p) − G(q)| ≤ (1 + |p| + |q| ) ω (|p − q|)
per ogni p, q ∈ Rn×N ,
allora γ è l’inviluppo quasi-convesso di G, cioè la massima funzione
quasi-convessa che non supera G.
• Il secondo ingrediente è il seguente risultato:
Teorema 5.2.6 (Principio Variazionale di Ekeland [27] [28] [29]).
Sia (V, d) uno spazio metrico completo. Sia G : V → [0, +∞] un
funzionale limitato inferiormente, s.c.i. nella topologia indotta dalla
metrica d che abbia in qualche punto valore finito.
Se per qualche v ∈ V ed η > 0 risulta
G[v] ≤ inf G + η
V
allora esiste u ∈ V tale che
a. d(u, v) ≤ 1;
b. G[u] ≤ G[v];
c. G[u] ≤ G[w] + ηd(u, w) per ogni w ∈ V
(cioè, u è punto (unico) di minimo del funzionale
w 7→ G[w] + ηd(u, w)).
1
Osserviamo che, se introduciamo in V la nuova distanza d1 = η − 2 d,
lo spazio metrico (V, d1 ) è completo, e G è s.c.i..
Allora, dal Principio Variazionale di Ekeland segue che se G[v] ≤
inf G + η, esiste u ∈ V (a priori diversa da quella di cui all’enunciato
V
del teorema 5.2.6) tale che
1
a’. d(u, v) ≤ η 2 ;
b’. G[u] ≤ G[v];
1
c’. G[u] ≤ G[w] + η 2 d(u, w) per ogni w ∈ V .
Ora, se {vh } ⊂ V è una successione minimizzante per G, cioè se
ηh := G[vh ] − inf G
V
h→∞
→ 0, la successione corrispondente {uh } ⊂ V
è anch’essa successione minimizzante per G.
Inoltre
1
G[uh ] ≤ G[w] + ηh2 d(uh , w)
per ogni w ∈ V .
• Ultimo e fondamentale ingrediente è questo risultato di maggiore sommabilità.
Lemma 5.2.7 ( [32] e lemma 3.2 in [53]).
Sia G : Ω × RN × Rn×N → R una Lagrangiana tale che
(i) G(x, u, p) è di Carathéodory;
112
M. Carriero, L. De Luca
m
m
m
(ii) |p| ≤ G(x, u, p) ≤ a1 (x) + a2 |u| + a3 |p| con a1 ∈ Ltloc (Ω),
t > 1, m > 1, a2, a3 > 0.
1,m
Sia u ∈ Wloc
Ω, RN tale che per ogni aperto Ω0 ⊂⊂ Ω:
ˆ
ˆ
G (x, u(x), ∇u(x)) dx ≤
G (x, v(x), ∇v(x)) dx
Ω0
Ω0
ˆ
+η
|∇v(x) − ∇u(x)| dx
Ω0
W01,m
0
N
per ogni v ∈ u +
Ω ,R
dove 0 ≤ η ≤ 1.
1,m+τ
Allora esiste τ > 0 tale che u ∈ Wloc
Ω, RN .
Osservazione 5.2.8. Il teorema di semicontinuità 5.2.4 è dovuto essenzialmente ad Acerbi e Fusco [1] che lo hanno ottenuto in ipotesi leggermente
meno generali.
Una prima importante differenza ˆcon il caso convesso è la seguente: nel
teorema 4.3.6 il funzionale F [u] =
F (x, u(x), ∇u(x)) dx è seq. deb. s.c.i.
Ω
1,1
in Wloc
(Ω, M ); invece il teorema 5.2.4 asserisce che il funzionale F[u] è seq.
1,m
deb. s.c.i. in Wloc
(Ω, RN ), dove m è l’esponente di crescita in (ii).
Una seconda differenza è che nel teorema 4.3.6 (tenuto conto anche dell’osservazione 4.3.8) otteniamo la sequenziale debole semicontinuità inferiore
richiedendo solo un controllo dal basso per la Lagrangiana F . Nel teorema
5.2.4 è richiesto anche un controllo dall’alto.
Il teorema 5.2.4 non sussiste se r = m, né se t = m∗ [37].
Come già visto (cfr. teorema 4.5.2), una volta dimostrata la semicontinuità,
l’esistenza di minimi sotto opportune condizioni dipende in gran parte dalla
coercività del funzionale in esame. Per l’analisi di risultati di esistenza di
minimi nel caso in cui F (x, u, p) è solo quasi-convessa o anche policonvessa
(ma non convessa) rinviamo al paragrafo 5.6 in [37].
Qui, rinviamo ai teoremi di esistenza 6.2.3 e 6.2.4 del successivo capitolo,
relativi al caso di funzionali con Lagrangiana policonvessa.
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